Олимпиада по математика, областен кръг, 10 клас

[Spider Iovkov]

56 републиканска олимпиада по математика

Областен кръг, първи ден, 14. 04. 2007 г.

Х клас

Задача 1. Да се намерят всички стойности на [tex]x[/tex], за които е изпълнено неравенството:

[tex]\frac{\sqrt{-x^2+6x+1}+5x-15}{2x-5}\ge 2[/tex].

Задача 2. Даден е [tex]\triangle ABC[/tex], в който с [tex]D, E, F[/tex] са означени допирните точки на външно вписаните окръжности съответно към страните [tex]BC, CA, AB[/tex]:
(а) да се докаже, че правите [tex]AD, BE, CF[/tex] се пресичат в една точка;
(б) ако пресечната точка на правите [tex]AD, BE, CF[/tex] лежи върху вписаната окръжност на триъгълника, да се докаже, че периметърът му е четири пъти по-голям от най-малката му страна.

Задача 3. Естествените числа [tex]a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, n\ge 3[/tex], са такива, че

[tex]b_{1}=\frac{a_{n}+a_{2}}{a_{1}}, b_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{a_{2}}, ..., b_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{1}}{a_{n}}[/tex]

са цели числа. Да се докаже, че [tex]b_{1}+b_{2}+...+b_{n}\le 3n-1[/tex].

[Реклама]

[Spider Iovkov]

56 републиканска олимпиада по математика

Областен кръг, втори ден, 15. 04. 2007 г.

Х клас

Задача 1. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]log_{x-a}(x+a)=2[/tex]

има точно едно решение.

Задача 2. Да се намери броят на двойките от естествени числа [tex](m; n)[/tex], които са решения на системата

[tex]\begin{array}{||}47^m-48^n+1\equiv 0 (mod 61)\\3m+2n=1000\end{array}[/tex].

Задача 3. Даден е правилен шестнайсетоъгълник[tex]A_{1}A_{2}...A_{16}[/tex], върховете на който лежат върху окръжност [tex]k[/tex] с център [tex]O[/tex]. Възможно ли е да бъде избрана част от върховете на шестнайсетоъгълника така, че при последователно завъртане около центъра на ъгли [tex]\frac{360^\circ}{16}, 2.\frac{360^\circ}{16}, ..., 16.\frac{360^\circ}{16}[/tex] отсечките, свързващи избраните точки, да опишат всички страни и диагонали на шестнайсетоъгълника точно по два пъти?

[NoThanks]

Хах, решавал съм я тази тема точно на място. И аз бях 10ти клас онази година Имах 18 точки 2а) от 1вия ден я мъчих около 2 часа без да се сетя за равните допирателни отсечки, и в последните 15 минути ме осени начин да докажа равните отсечки чрез няколко подобни 3ъгълници и после с Чева.

[Пафнутий]

[martosss]

тия степени как се сещаш че дават остатък 1 при деление на 61? примерно 6-тата степен я повдигаш и делиш на 61 ли? или първо на квадрат, опростяваш, после пак на трета... и така...?

[Пафнутий]

Очевидно е, че трябва да се намери показателя на 47,48 по модул 61, а пък [tex]47\equiv-14(mod61)[/tex] и [tex]48\equiv-13(mod61)[/tex] и така се улеснява значително пресмятането

[NoThanks]

Аз на тази помня, че разглеждах 1во това 1вото уравнение(сравнение).
[tex]47^m - 48^n \equiv -1(mod 61)[/tex]
Откъдето имаме, че 47^m - 48^n се дели на 60. Обаче, за да се дели 60, трябва да завършва на 0. И сега гледам, че 47^m завършва на цифрата, на която завършва 7^m. Oбаче възможните последната цифра на степените на 7мицата са:
1;7;9;3;
a na 48^n аналог, последна цифра може да е:
1;8;4;2;6;
И сега има да се разгледат 5*4 = 20 случая обаче е ясно, че само с 1 ще стане и това е когато последните цифри и на 2те са 1. t.e 47^m завършва на 1. Това обаче е изпълнено само за степените на 7мицата, които се делят на 4. 48^m завършва на 1, което обаче е изпълнено само за n = 0.
n = 0.
3m=1000 => m=1000/3, което не е цяло. Тоест Н.Р.
П.С Най-вероятно съм олял нещо, защото на олимпиадата помня че писах почти същото и явно не са ми дали (почти) никакви точки.(или пък не съм писал баш същото )

[Пафнутий]

Грешката ти е още в първото твърдение. От [tex]x\equiv -1(mod 61)[/tex] не следва, че [tex]x[/tex] се дели на [tex]60[/tex]
ПП 2а) е известна задача. Пресечната точка се нарича точка на Нагел.