Комплексни числа

[Airqn4o]

Тотално съм изключил и нямам никаква идея как да реша : z^{2}=2z,
като 2рото z е спрегнатото на това на 2ра степен,просто не можах да сложа чертичка над него.Ще ви помоля за помощ.Благодаря предварително

[Реклама]

[b1ck0]

[tex]z.\overline{z} =z^{2}[/tex]
------------------------------------------
[tex]z.\overline{z} = 2\overline{z} \Rightarrow z= 0 \Rightarrow x+iy=0 \Rightarrow x=0, y=0[/tex]

Дори и аз не съм убеден в това което написах ...

[Airqn4o]

z.\overline{z} =|z|^{2} ,а не на z...

[b1ck0]

[gdimkov]

Ако уравнението е [tex]z^2=2\overline z[/tex], то се решава като запишем [tex]z=x+iy[/tex]. Така получаваме уравнението
[tex]x^2+2xyi-y^2=2(x-iy)[/tex].
Като приравним реалните и имагинерните чести получаваме системата
[tex]x^2-y^2=2x[/tex]
[tex]2xy=-2y[/tex].

[gdimkov]

Друг начин за решаване: използваме формулата на Ойлер
[tex]cos\alpha +i\sin\alpha =e^{i\alpha }[/tex]
[tex]z=re^{i\alpha },\,z^2=2\overline z,\,\rightarrow r^2e^{2i\alpha }=2re^{-i\alpha }[/tex].
[tex]r^2=2r,\,\rightarrow r=0,\,r=2[/tex]
[tex]e^{2i\alpha }=e^{-i\alpha }[/tex]
[tex]e^{3i\alpha }=1=e^{2\pi i}[/tex]

[tex]\alpha ={\frac {2\pi }{3}}(2k+1),\,k=0,\,1,\,2[/tex]
Когато z=0, числото има произволен аргумент.

[Airqn4o]

Благодаря