Задача от Софийския университет

[Spider Iovkov]

Вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност [tex]k[/tex] се допира до страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в точките [tex]N[/tex] и [tex]L[/tex]. Точката [tex]M[/tex] е средата на страната [tex]BC[/tex], като [tex]AM||NL[/tex] и [tex]AC=1[/tex]. Определете дължините на страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex], ако мерките на ъглите на триъгълника образуват аритметична прогресия.

[Реклама]

[NoThanks]

От равните допирателни отсечки имаме CL = CN. T.e ▲CNL е равнобедрен. Но тъй като АМ е успоредна на NL, то и 3ъгълник AMC е равнобедрен. От там AC = CM = 1, но CM = 1/2BC => BC =2. Сега от това с прогресията имаме 2 случая: Независимо от ъглите на 3ъгълника си имаме AC = 1; BC = 2. В 3ъгълника АМB очевидно тъпия ъгъл е при М, откъдето имаме AB>1/2BC = AC. AC е най-малката страна в 3ъгълника, остава да уточним коя е най-голямата
1) AB е най-голямата страна на 3ъгълника. Нека ъглите са [tex]\alpha;\alpha + d; \alpha +2d[/tex] Очевидно ъгъл C = alpha + 2d. Събираме почленно и намираме: [tex]\alpha + d = 60 = BAC[/tex] Сега от косинусова теорема намираме:
[tex]4 = 1 + AB^2 - AB \rightarrow AB^2 - AB -3 =0 \rightarrow AB = 1+-2 => AB=3[/tex]
AB=3;BC=2
2) BC e най-голямата страна. => BCA = 60
[tex]AB^2 = 5 - 2 = 3 => AB = \sqrt{3}[/tex]
[tex]AB = \sqrt{3} \; BC = 2[/tex]
П.П а чертежи с коя програма правите?
Едит: Мерси

[martosss]