Регистрирайте сеРегистрирайте се

Относно центъра на тежестта на равнинна фигура


 
   Форум за математика Форуми -> Физика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
dgalchev
Начинаещ


Регистриран на: 21 May 2008
Мнения: 30

Репутация: 3.5Репутация: 3.5Репутация: 3.5

МнениеПуснато на: Fri Oct 24, 2008 11:12 pm    Заглавие: Относно центъра на тежестта на равнинна фигура

Някой може ли да ми предложи метод за намиране на центъра на тежестта на произволна равнинна фигура (например на фигура, образувана от произволна крива линия), като теглото на всяка една от точките ѝ е едно и също, разбира се?
Търсих и в интернет, но нищо не намерих.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Fri Oct 24, 2008 11:52 pm    Заглавие:

Доколкото си спомням е това:

[tex]\vec{r} = \vec{e_1}\frac{1}{m} \iiint_{K}^{}\rho(x,y,z)xdxdydz +\vec{e_2} \frac{1}{m} \iiint_{K}^{}\rho(x,y,z)ydxdydz + \vec{e_3}\frac{1}{m} \iiint_{K}^{}\rho(x,y,z)zdxdydz [/tex]

Мога да се разровя и за точно математино доказателство, ако ти трябва.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgalchev
Начинаещ


Регистриран на: 21 May 2008
Мнения: 30

Репутация: 3.5Репутация: 3.5Репутация: 3.5

МнениеПуснато на: Sat Oct 25, 2008 12:58 pm    Заглавие:

Необходимо ми е и доказателството. Ще ти бъда благодарен, ако можеш.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Sat Oct 25, 2008 9:34 pm    Заглавие:

Ще го докажа първо за едномерно множество, което може да се тълкува като пръчка без дебелина. После ще минем към равнинни и пространствени обекти. Освен това ще разделя и този случай на два: първо, когато плътността на тялото е еднаква навсякъде и второ: когато е различна. И така задачата е:

1.
а) Да се намери координатата на центъра на тежестта на пръчка с маса m, постоянна линейна плътност [tex]\rho = const[/tex] и координати на началото и края съответно [tex]x_0[/tex] и [tex]x_n[/tex] във фиксирана координатна система Ox.

Разделяме пръчката на n равни части. Масата на [tex]\nu[/tex] - тото деление ще означим с [tex]m_\nu[/tex]. Тъй като плътността е еднаква навсякъде по пръчката, то [tex]m_\nu =\rho(x_\nu - x_{\nu - 1}) = \rho\Delta x[/tex].

Центърът на масите (център на тежестта) на n материални точки в едномерно пространство има координати:

[tex]x_c = \frac{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu.x_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu} [/tex]

, където [tex]m_\nu[/tex] и [tex]x_\nu[/tex] са съответно масата и координатата на [tex]\nu [/tex]- тата частица.

В случай на непрекъснато едномерно множество каквото е нашето, каквато и точка да вземем от него, тя ще има маса нула, затова не можем да определим центъра на масите пряко по формулата. Затова правим следната апроксимация: на мястото на непрекъснатото множество, съпоставяме прекъснато, което ще кръстим с D', така че в новото множество да съществуват краен брой материални точки с ненулева маса. В конкретния случай прекъснатото множество ще конструираме така: масата на всяко деление задава масата на една материална точка, чиято координата в същата координатна система могат да бъдат избирани в произволна точка между координатите на точките, осъществяващи делението. С други думи материалната точка може да се "движи" в затворения интервал между две съседни делящи точки.

Като направим всичко това, намираме координатите на центъра на масите на новата система от материални точки. Той е:

[tex]x_c = \frac{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu} [/tex]

Тук [tex]\xi_\nu[/tex] e координата на [tex]\nu[/tex] - тата материална точка като [tex]x_{\nu-1}\le \xi_\nu\le x_\nu[/tex] .

Ако започнем да правим безкрайно издребняващо деление на едномерното множество, задаващо пръчката, т.е. такова деление, при което дължината на най-големия подинтервал клони към нула (в случая нашите интервали имат еднаква дължина), то точките от D' все повече и повече ще се приближават eдна към друга с всяко следващо деление и все по-точно ще апроксимират непрекъснатото множество. В граничния случай когато n клони към безкрайност и [tex]\Delta x[/tex] клони към нула, така получените редици от стойности на координатата на центъра на тежестта [tex]x_C[/tex] ще клони към една граница, която ще наречем координата на центъра на тежестта на пръчката, зададена с едномерното непрекъснато множество.

И така, според тази дефиниция:

[tex]x_C = \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu}[/tex] , при[tex] \Delta x[/tex] клонящо към нула

Забележка: това, че [tex] \Delta x[/tex] клони към нула в случая е ясно, понеже [tex] \Delta x = \frac{x_n - x_0}{n} [/tex], но въпреки това се отбелязва, понеже не винаги е указано явно по какъв начин се извършва делението.

Оттук получаваме:

[tex]x_C = \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{\nu = 1}^{n}\rho (x_{\nu} - x_{\nu - 1} ) \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu} = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu }\lim_{n\to\infty}\sum_{\nu = 1}^{n}\rho\xi_{\nu} (x_{\nu} - x_{\nu - 1}) =\frac{1}{m}\lim_{n\to\infty}\sum_{\nu = 1}^{n}\rho \xi_{\nu} (x_{\nu} - x_{\nu - 1}) [/tex]

Последната граница, както добре знаем от една теорема на анализа, клони към определен интеграл, тъй като това всъщност е граница на редица от риманови суми при издребняващо деление. Тогава ще имаме:

[tex]x_C = \frac{1}{m} \int_{x_0}^{x_n}\rho x dx = \frac{\rho}{m}\int_{x_0}^{x_n} x dx = \frac{1}{x_n - x_0} \frac{x_n^2 - x_0^2}{2} = \frac{x_0 + x_n}{2} [/tex]

Т.е., както и очаквахме, центърът на тежестта е точно в средата на пръчката.

Подточка б) ще направя някой друг път.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgalchev
Начинаещ


Регистриран на: 21 May 2008
Мнения: 30

Репутация: 3.5Репутация: 3.5Репутация: 3.5

МнениеПуснато на: Sun Oct 26, 2008 7:54 pm    Заглавие:

Благодаря ти много! Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Mon Oct 27, 2008 3:22 pm    Заглавие:

б)
Преди да започна, ще направя едно уточнение във връзка с дефинирането на понятието "линейна плътност" на едномерно непрекъснато множество от материални точки.
Нека масата на частта между нулевата координата и една фиксирана координата [tex]x_0[/tex] е [tex]m(x_0)[/tex] . Тук масата е в зависимост от координатите - променяйки кооридатата на крайната точка, променяме и масата на частта между нея и нулевата. Масата на частта между двете координати [tex]x_0[/tex] и [tex]x[/tex] (тук [tex]x[/tex] е произволна променлива координата, но [tex]x_0[/tex] е фиксирана) ще бъде [tex]m(x) - m(x_0)[/tex] . Колкото повече [tex]x[/tex] се приближава до [tex]x_0[/tex], толкова повече тази маса ще намалява, независимо от вида на функцията [tex]m(x) [/tex], докато не стане нула при [tex]x = x_0[/tex]. Линейна плътност тогава ще наречем отношението между масата в интервала [tex][x_0;x][/tex] , ако [tex]x_0<x[/tex] или в интервала [tex][x;x_0][/tex] , ако [tex]x<x_0[/tex] и дължината на самия интервал,т.е. [tex]\rho = \frac{m(x) - m(x_0) }{x-x_0} = \frac{m(x_0) - m(x)}{ x_0 - x} [/tex]. Тази стойност в общия случай обаче зависи от дължината на интервала; ако вземем интервал с друга дължина, то и плътността в него се изменя (плътността ще е една и съща във всеки интервал само е постоянна величина). Затова, когато оставим [tex]x[/tex] да клони към [tex]x_0[/tex], плътност в точката [tex]x_0[/tex] ще наречем границата [tex]\lim_{x\to\ x_0}\frac{m(x) - m(x_0) }{x-x_0}[/tex] или [tex]\rho(x_0) = m'(x_0)[/tex] . Тази граница съществува, защото функцията [tex]m(x)[/tex] е непрекъсната по условие и съвсем не е от вида на ония функции на Вайерщрас, дето са напрекъснати без да са диференцируеми, т.е. тя е и диференцируема.
Масата [tex]m_\nu[/tex] между две точки [tex]x_{\nu -1}[/tex] и [tex]x_\nu[/tex] тогава можем да намерим като използваме, че равните функции имат равни определени интеграли, т.е. ще имаме:

[tex]\int_{x_{\nu -1}}^{x_\nu }_\rho(x)dx = \int_{x_{\nu -1}}^{x_\nu}m'(x)dx = m(x_{\nu-1}) - m(x_\nu) = m_\nu [/tex]

Сега да преминем към задачата, която по същество съвсем не се различава от предишната. Разсъждавайки по същия начин, ще видим, че центъра на масите на пръчката ще се изрази с формулата:

[tex]x_C = \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{\nu = 1}^{n}(m(x_\nu) - m(x_{\nu - 1})) \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu}[/tex]

Тук обаче [tex]\xi_\nu [/tex] вече не е произволна точка от интервала [tex][x_{\nu-1};x_\nu][/tex] и сега ще я определим като използваме теоремата на Лагранж за крайните нараствания:

[tex]x_C = \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{\nu = 1}^{n}(x_\nu - x_{\nu-1})m'(\xi_\nu) \xi_\nu}{\sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu}[/tex] ,

т.е. избрахме [tex]\xi_\nu [/tex] да е онази точка, за която е изпълнена теоремата за крайните нараствания в съответния интервал. Сега веднага получаваме:

[tex]x_C = \frac{1}{m} \lim_{n\to\infty}{\sum_{\nu = 1}^{n}\xi_\nu m'(\xi_\nu) }(x_\nu - x_{\nu-1}) = \frac{1}{m} \int_{x_0}^{x_n}xm'(x)dx = \frac{1}{m} \int_{x_0}^{x_n}x \rho(x)dx [/tex]

Във векторна форма ще имаме:

[tex]\vec{r}_C = \vec{i}\frac{1}{m} \int_{x_0}^{x_n}x \rho(x)dx[/tex] ,

където [tex]\vec{i}[/tex] е единичният вектор, колинеарен на оста Ox и задаващ нейната ориентация.


Ако се сетя как ставаше, ще напиша и случая за равнинна крива, преди да минем към двумерни множества.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 4:36 pm    Заглавие:

2.
a) [tex]\rho = const[/tex]

Нека имаме гладка крива [tex]L[/tex], зададена със следните параметрични уравнения:

[tex]x = f(t)[/tex]
[tex]y = g(t)[/tex]
[tex]z = h(t)[/tex]
[tex]\alpha <t<\beta[/tex] ,

а съответната и материална крива има маса [tex]m[/tex] и постоянна криволинейна плътност [tex]\rho[/tex].

Разделяме параметричния интервал на [tex]n[/tex] части [tex]\tau_1<\tau_2<...<\tau_n[/tex], като [tex]f(\tau_\nu) = x_\nu[/tex] така че всички точки, в които [tex]f[/tex] има екстремум да са делящи.
Като извършим сходни процедури, ще се убедим, че [tex]x[/tex]-тата координата на центъра на тежестта се намира с формулата:

[tex]x_C = \frac{1}{m} \lim_{n\to\infty} \sum_{\nu = 1}^{n}m_\nu \xi_\nu[/tex],

където [tex]x_{\nu-1} \le \xi_\nu \le x_\nu[/tex], ако [tex]f[/tex] e растяща в интервала [tex][\tau_{\nu-1};\tau_\nu][/tex] или [tex]x_{\nu} \le \xi_\nu \le x_{\nu-1}[/tex], ако [tex]f[/tex]e намаляваща с същия интервал, е число, което ще определим допълнително.

Да пресметнем най-напред [tex]m_\nu[/tex] . Имаме:

[tex]m_\nu = \rho\int_{\tau_{\nu-1}}^{ \tau_\nu} \sqrt{f^{'2}(t) +g^{'2}(t) + h^{'2}(t)}dt[/tex] , където [tex]f(\tau_\nu) = x_\nu[/tex] и [tex]f(\tau_{\nu-1}) = x_{\nu-1}[/tex]

Като използваме теоремата за средните стойности, получаваме:

[tex]\int_{\tau_{\nu-1}}^{ \tau_\nu} \sqrt{f^{'2}(t) +g^{'2}(t) + h^{'2}(t)}dt = \sqrt{f^{'2}(\zeta_\nu) +g^{'2}(\zeta_\nu) + h^{'2}(\zeta_\nu)}( \tau_\nu - \tau_{\nu-1})[/tex],

където [tex]\tau_{\nu-1}\le \zeta_\nu\le \tau_\nu [/tex].

Тогава можем да вземем [tex]\xi_\nu = f(\zeta_\nu)[/tex] и ще получим:

[tex]x_C = \frac{1}{m} \lim_{n\to\infty} \sum_{\nu = 1}^{n}\rho\sqrt{f^{'2}(\zeta_\nu) +g^{'2}(\zeta_\nu) + h^{'2}(\zeta_\nu)}f(\zeta_\nu)( \tau_\nu - \tau_{\nu-1}) = \frac{1}{m}\int_{\alpha }^{ \beta }\rho\sqrt{f^{'2}(t) +g^{'2}(t) + h^{'2}(t)}f(t)dt = \frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho xdl [/tex]

Като разсъждаваме по съвършено сходен начин получаваме и формули за координатите на центъра на тежестта по у и z :

[tex]x_C = \frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho xdl[/tex]
[tex]y_C = \frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho ydl[/tex]
[tex]z_C = \frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho zdl[/tex]

което можем да запишем по следния начин:

[tex]\vec{r}_C = \vec{i}\frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho xdl + \vec{j} \frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho ydl + \vec{k}\frac{1}{m}\int_{L}^{ }\rho zdl [/tex]


Като използваме, че [tex]\rho = const[/tex] и [tex]\frac{m}{\rho} = d(L) = \int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{f^{'2}(t) + g^{'2}(t) + h^{'2}(t)}dt [/tex], то можем да запишем още :

[tex]\vec{r}_C = \vec{i}\frac{1}{d(L)}\int_{L}^{ }xdl + \vec{j} \frac{1}{d(L)}\int_{L}^{ }ydl + \vec{k}\frac{1}{d(L)}\int_{L}^{ } zdl [/tex]

т.е., оттук получаваме, че центърът на тежестта при постоянна плътност не зависи от масата, а само от вида на кривата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgalchev
Начинаещ


Регистриран на: 21 May 2008
Мнения: 30

Репутация: 3.5Репутация: 3.5Репутация: 3.5

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 7:21 pm    Заглавие:

Евала!
Мерси още веднъж за информацията! Very Happy
Впрочем възникна още един въпрос в мен - ако имаме фигура в една равнина (или достатъчно тънко и равномерно гладко тяло в пространството, което моожем да приемем за фигура в една равнина) как можем да ѝ определим центъра на тржестта без да правим тези изчисления? Чисто практически. Има ли разработени методи за това?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Sat Nov 08, 2008 8:30 pm    Заглавие:

За равнинно множество е по същия начин - само че с двоен интеграл върху него. Нямам много време (уча за контролни) и затова няма да го правя подробно, но мисля, че идеята е ясна и всеки би могъл сам да изведе формулата Smile . Например нека имаме кръгче с постоянна плътност и радиус R и да го поставим в началото на двумерна декартова система. Тогава x - тата компонента на центъра на тежестта намираме по формулата:

[tex]x_C = \frac{1}{m} \iint_{D}^{ }xdxdy , D: x^2 + y^2 = R^2[/tex]

Правим полярна смяна и намираме:

[tex]x_C = \frac{1}{m}\iint_{D'}^{ }\rho^2 cos \varphi d\varphi d\rho = \int_{0}^{2\pi } cos \varphi d\varphi \int_{0}^{R}\rho^2 d\rho = 0[/tex]

По същия начин намираме, че и [tex]y_C = 0[/tex]. Значи центъра на тежестта на едно такова кръгче винаги е в геометричния му център, независимо от радиуса и масата му(стига плътността да е постоянна).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Nov 08, 2008 8:50 pm    Заглавие:

Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Kerry
Начинаещ


Регистриран на: 17 Oct 2006
Мнения: 80
Местожителство: Пловдив
Репутация: 23Репутация: 23
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sat Nov 08, 2008 9:56 pm    Заглавие: Чисто практическо решение

Закачаме с връв тялото в точка А и с пунктир очертаваме продължението на връвта.
Правим същото и с точка В. Пунктирите се пресичат в центъра на тежестта.



Center.JPG
 Description:
 Големина на файла:  14.43 KB
 Видяна:  6820 пъти(s)

Center.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgalchev
Начинаещ


Регистриран на: 21 May 2008
Мнения: 30

Репутация: 3.5Репутация: 3.5Репутация: 3.5

МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 11:40 pm    Заглавие:

Very Happy
Хитро! Нямаше да се сетя.
Това е доста рационално и приложимо.
Със сигурност има и други подобни методи, като този на Kerry.
Благодаря на всички отзовали се. И ако се сетите за други такива методи, моля да ги посочите. Несъмнено ще бъде интересно и за другите, писали по тази тема. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Nov 14, 2008 5:43 pm    Заглавие:

Мислех да напиша нова тема, но видях, че може би ще е добре тук да задам въпроса си.
Имаме многоъгълник [tex]A_{1}A_{2}\ldots A_{n}[/tex]. Нека [tex]G[/tex] е точка от равнината му. Вярно ли е, че ако лицата на триъгълниците [tex]A_{i}A_{i+1}G[/tex] ([tex]i=1,2,3,\ldots,n[/tex], [tex]A_{n+1}\equiv A_{1}[/tex]) са равни, то [tex]G[/tex] е медицентър на многоъгълника? Вярно ли е обратното твърдение?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Физика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.