Задача за обеми

[ra_po]

Моля Ви ако може някой да ми помогне с една задачка закачка където ме изпоти тотално.
Имаме легнала цистерна
Дължина: 4.16м
Височина:2.75м.
Искам да сметна на 1см.колко гориво би ни показвал нивомерът и с колко прогресивно се увеличава при 2,3,4,5 и тн.сантиметри.
Трябва да се има и впредвид че когато се премине средата на цистерната литрите логично трябва да намаляват.
Много благодаря на отзовалите се!

[Реклама]

[ганка симеонова]

Как така на 1 см гориво, колко ще показва нивомерът? Не ми е ясно.

[gdimkov]

Аз го виждам така: наливаме гориво и когато то е в идеален покой, най-голямата дълбочина е 1 см. Цистерната в случая е цилиндър, легнал хоризонтално.

[ганка симеонова]

[gdimkov]

Започвам да се сещам някои неща. Не знам обаче кой с какви средства разполага за решаването на задачата. Трябва да намерим лицето на кръгов сегмент и да го умножим по дължината на цилиндъра - 4,16 м.
Кръговият сегмент се получава като отрежем от кръгов сектор равнобедрения триъгълник, който се образува от два радиуса и хордата свързваща двата края на радиусите. В случая това е триъгълник с бедро 275 см и височина към основата 274 см.
Нека половината от ъгъла при върха е [tex]\alpha ,\,cos\alpha=274/275=0,996363636,\,\alpha =0.08530615[/tex]. Тогава ъгълът при върха е [tex]2\alpha =0.1706123[/tex]. Всичко е в радианни мерки. Лицето на сектора е [tex]2\alpha R^2=12902.55522[/tex]. Лицето на триъгълника е [tex]R(R-1)\sin\alpha =6420.025234[/tex]. Лицето на сегмента е 6482,53 кв.см=64,8253 кв.дм. Обемът на течността в литри е 64,8253.41,6=2696,73 л.
Обемът на целия цилидър е 98784,4 л. Намереното по-горе количество е 0,027% от него.
Продължението на решението следва същата схема.

[r2d2]

За решаването на подобни зада4ки-зака4ки в ОМV някой хора си докарват доста добри пари. И не само там!
Така че, решавайте!

[g_kulekov]

Изправи цистерната (виж картинката). Инересува те обема на отреза, а той е лицето на кръговия отрез на основата (т.е. на страничната стена на цистерната), умножен по височината на цилиндъра (дължината на цистерната). Отваряй справочници и си избери формула за изчисляване на лицето на кръговия отрез (някъде ще го срещнеш и като сегмент, а височината му - като стрела). Съмнява ме, че някой тук ще се зарови в детайлите, така че - успешно смятане!

[martosss]

Аз мога да ти дам формулата, взехме я преди време... то е важно само лицето как ще намериш, по-нататък умножаваш по височината и готово Само момент да я потърся в тетрадката или просто да си я сметна

Даден ни е радиусът на цистерната R и височината h, до която е пълна цистерната.
Търсим обема на течността...

В момента търсим [tex]S_{4erveno}-S_{\Del ABO}[/tex]

С h сме означили нивото, до което е пълна цистерната, с R сме означили радиуса(нека за сега е R за да не пиша цифри, после направо ще си заместиш).

Тогава [tex]OM=R-h[/tex]

От [tex]\Del AMO\Right AB=2AM=2\sqrt{AO^2-OM^2}=2\sqrt{h(2R-h)}[/tex]

Сега [tex]sin\alp =2sin(\frac{\alp}{2})cos(\fra{\alp}{2})=2*\frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R}*\frac{|R-h|}{R}[/tex] и оттук изчислявате ъгълът алфа(в гугъл като напишете sin ... и изчислява имаше нещо с градуси, надявам се да се справите, май и елките имат)
След това изчисляваме

[tex]S_{4erveno}-S_{\Del ABO}=\frac{\alp}{360}*\pi R^2-\frac{R^2sin\alp}{2}=\frac{\alp}{360}*\pi R^2-\frac{\N {R^2}\N 2*\frac{\sqrt{h(2R-h)}}{\N R}*\frac{|R-h|}{\N R}}{\N 2}=\frac{\alp}{360}*\pi R^2-|R-h|\sqrt{h(2R-h)}[/tex]

[tex]V=S*h=\left(\frac{\alp}{360}*\pi R^2-|R-h|\sqrt{h(2R-h)}\right)*h[/tex]

Сега в горната формула заместваш радиуса, височината и ъгъла (който намираш от синуса, не знам как иначе ) и си готов

[voknid]

Въведете в 3 клетки на Excel дадените размери (в милиметри ):

[tex]r[/tex] = радиуса = [tex]\frac{d}{2}[/tex] (където [tex]d[/tex] е диаметъра, т.е. височината в легнало положение)
[tex]h[/tex] = нивото на течността, мерено от дъното [tex](0 \le h \le 2.r)[/tex]
[tex]l[/tex] = дължината (=височината, ако беше в изправено положение )

Пример (за ≈ 218 л. варел, който се пълни до 208 л. поради разширението на течността при нагряване):
[tex]r[/tex] - в клетка A1 = 286;
[tex]h[/tex] - в клетка A2 = 572;
[tex]l[/tex] - в клетка A3 = 850.
В клетка A4 въведете (внимателно ) формулата за обема V (в литри) на напълнената част:

=(((((ACOS((A1-A2)/A1)*180/PI())*2)/360*PI()*A1^2)-(SQRT(A1^2-(A1-A2)^2)*(A1-A2)))*A3)/1000000

Пълен догоре варел с тези размери събира 218.424 л. течност.
(Забележка: Ако въведете размерите в дециметри, отпада делението на 1 000 000)

ОБЯСНЕНИЕ: (само за любознателни ученички [-18] )
Формулата изчислява лицето на сегмента - [tex]S[/tex], очертан от течността върху кръглото дъно на цилиндъра като разлика от лицата на кръговия сектор = [tex]S_{1}[/tex] и централно вписания триъгълник с върхове в центъра на кръга и 2-та края на хордата = [tex]S_{2}[/tex] и го умножава по дължината [tex]l[/tex]. Няма значение дали нивото е под или над половината на съда - странно, нали Когато нивото е над средното (h > r), площта на триъгълника е отрицателно число - височината му (r - h) < 0 и всъщност неговата абсолютна стойност се прибавя вместо да се изважда от площта на сектора.

Лицето на сектора AOB (в червен цвят на горния чертеж)

1) [tex]S_{1 } = \frac{\pi r^{2}\angle \alpha^\circ }{360^\circ } [/tex]

Трябва да се намери[tex]\angle \alpha [/tex] (на чертежа[tex]\angle[/tex]АОВ).
Да означим с[tex]\angle \alpha _{1}[/tex] и[tex]\angle \alpha _{2}[/tex] двете му половини. Можем да намерим[tex]\angle \alpha _{1}[/tex] по формулата за съотношението на един от катетите спрямо хипотенузата в правоъгълен [tex]\triangle [/tex] изразено чрез косинуса на ъгъла между тях. (виж на чертежа [tex]\triangle [/tex]AOM)

2) [tex]\cos\angle \alpha _{1} = \frac{b}{c}[/tex]

За [tex]\triangle AOM[/tex] приемаме следните означения:
[tex]a = AM[/tex] - стрещулежащата страна на [tex]\angle \alpha _{1}[/tex]
[tex]b = OM = r - h[/tex]
[tex]c = AO = r[/tex] (хипотенузата)
Заместваме във формула 2) и получаваме
[tex]\cos\angle \alpha_{1} = \frac{r-h}{r}[/tex]
При известен косинус на един ъгъл, големината на този ъгъл се намира чрез аркускосинус.
[tex]\Rightarrow \angle \alpha_{1}=\arccos\frac{r-h}{r}[/tex]
Намерихме [tex]\angle \alpha_{1}[/tex]. Умножаваме го по 2, за да намерим[tex]\angle \alpha[/tex]
[tex]\angle \alpha = 2\angle \alpha_{1} = 2\arccos\frac{r-h}{r}[/tex].
Заместваме[tex]\angle \alpha[/tex] във формула 1) и получаваме

3) [tex]S_{1 } = \frac{\pi r^{2}(2\arccos\frac{r-h}{r})}{360} [/tex]

Във формулата на Excel ъгъла от радиани се преобразува в градуси като се умножава по 180 и се дели на [tex]\pi [/tex]. Освен това [tex]\pi r^{2}[/tex] е в края на числителя, за разлика от формула 3) където е в началото, но това не променя резултата.

Лицето на [tex]\triangle [/tex]AOB:

[tex]\triangle AOB[/tex] е (очевидно ) равнобедрен и съставен от 2 еднакви правоъгълни [tex]\triangle [/tex]. (пак очевидно )
Да сметнем лицето на единия (пак избирам левия - [tex]\triangle AOM[/tex] ) и да го умножим по 2.
Да приемем същите означения като горните при изчисляването на [tex]\angle \alpha _{1}[/tex]:
[tex]a = AM[/tex] - стрещулежащата страна на [tex]\angle \alpha _{1}[/tex]
[tex]b = OM = r - h[/tex]
[tex]c = AO = r[/tex] (хипотенузата)
Използувайки съответствието в правоъгълен [tex]\triangle [/tex], открито от [tex]\pi tagor[/tex]

4) [tex]c^{2 } = a^{2 } + b^{2 }[/tex]

се намира дължината на другия катет: [tex]a = \sqrt{c^{2 }-b^{2 }}[/tex] а след това и лицето по формулата за лице на произволен [tex]\triangle [/tex]

5) [tex] S_{\triangle } = \frac{ah_{a}}{2 } [/tex]

Тук за прегледност с [tex]h_{a}[/tex] е означeна височината на триъгълника, за да се различава от нивото на течността h. Тъй като триъгълника е правоъгълен, [tex]\Rightarrow [/tex] височината към единия от катетите съвпада ([tex]\equiv [/tex])с другия катет ([tex]h_{a}\equiv b[/tex]). Изразяваме размера на страните чрез радиуса [tex]r[/tex] и нивото[tex]h[/tex] и получаваме
[tex]S_{\triangle AOM} = \frac{ab}{2} = \frac{AM.OM}{2} = \frac{\sqrt{r^{2} - (r-h)^{2}}.(r-h)}{2}[/tex]
Умножаваме го по 2, за да намерим лицето на [tex]\triangle [/tex]AOB.
6) [tex]S_{2} = S_{\triangle AOB} = \cancel{2}\left(\frac{\sqrt{r^{2} - (r-h)^{2}}.(r-h)}{\cancel{2}}\right) = \sqrt{r^{2} - (r-h)^{2}}.(r-h)[/tex]

Лицето на сегмента:
[tex]S = S_{1 } - S_{2 } = \left( \frac{\pi r^{2} \left( 2\arccos(\frac{r-h}{r})\right) }{360}\right)- \left( \sqrt{r^{2 } - (r-h)^{2 }}.(r-h)\right) [/tex]

Това е положението. Ако ви се вижда сложно , изправете цилиндъра - лицето на кръг е много по-просто: [tex]S = \pi r^{2}[/tex].
И накрая обема на легналия цилиндър (или неподвижна течност в легнала хоризонтално цистерна с плоски кръгли дъна и от двете страни! ... де да беше варел или нещо по-малко):

[tex]V = S . l[/tex]

Това го знае всяко хлапе
Та на твоя въпрос моя компютър отговаря така: Пълния обем = 24 708.626 л., а на ниво 1 см. (= 10 мм.) отговаря обем 9.188 л.
За други нива - сметни си сам.

[voknid]

За тези, който искат да виждат и междинните резултати, ето едно друго решение на Excel (с изчисление на лицето на централно вписания в сектора триъгълник чрез тригонометрия, вместо по питагоровата теорема). Метода е с по-кратки формули и се състои в:

1. Намиране на[tex]\angle \alpha [/tex] (в радиани);
2. Изчисление на лицето на сектора;
3. Изчисление на лицето на централно вписания равнобедрен триъгълник по дедени бедро и[tex]\angle \alpha [/tex] между двете бедра;
4. Изчисление на лицето на сегмента като разлика между лицето на сектора и централно вписания триъгълник;
5. Изчисление на обема на течността.

Въведете в съответните клетки на Excel следните размери (в милиметри):

кл. A1 число = [tex]r[/tex] = радиуса на цилиндъра;
кл. A2 число = [tex]h[/tex] = нивото на течността, мерено от дъното;
кл. A3 число = [tex]l[/tex] = дължината на цилиндъра (нали е легнал);
кл. A4 формула =A1-A2 т.е. [tex]r - h[/tex] това е височината, спусната от центъра към хордата (от центъра до нивото на течността);
кл. A5 - не въвеждайте нищо в нея. Нека този ред да разделя "дадено" от "решение"
кл. A6 формула =ACOS(A4/A1)*2 Резултата е[tex]\angle \alpha [/tex] (в радиани);
кл. A7 формула =A1^2*A6/2/10000 Резултата е лицето на сектора (в кв. дециметри);
кл. A8 формула =A1^2*SIN(A6)/2/10000 Резултата е лицето на централно вписания триъгълник (в кв. дециметри);
кл. A9 формула =A7-A8 Резултата е лицето на отреза - покритата с течност част от основата на цилиндъра;
кл. 10 формула =A9*A3/100 Резултата е обема (в литри) на напълнената част от цилиндъра според зададеното ниво.

Формулите дават верен резултат само при височина на нивото от "празно" до "пълно", т.е. в границите [tex]0 \le h\le 2r[/tex]
При ниво на течността над средното, лицето на централно вписания триъгълник е отрицателно число, което извадено от лицето на съответния му сектор фактически го прибавя към него. При пълен цилиндър лицето на централно вписания триъгълник в кл. A8 не се показва = 0 а много малко отрицателно число, което е следствие от сложната (тригонометрична) формула и преобазуването на числата в компютъра от една бройна система в друга. Форматирайте клетките с числов формат и определен от вас брой знаци след дес. точка за да изглеждат резултатите по-прегледно.

Обобщение на използуваните формули: (при размери в дециметри и[tex]\angle \alpha [/tex] в радиани)

[tex]\angle \alpha =2.\arccos\frac{r-h}{r}[/tex]

[tex]S_{1}=\frac{r^{2}.\angle \alpha }{2} [/tex]

[tex]S_{2}=\frac {r^{2}.\sin \angle \alpha}{2}[/tex]

[tex]S=S_{1}-S_{2}[/tex]

[tex]V=S.l[/tex]

Вместо горната формула за [tex]S_{2}[/tex] може да се използува тази:
[tex]S_{2}=r. \sin \frac {\angle \alpha}{2}.(r-h)[/tex]
и съответно на Excel:
кл. A8 формула =A1*SIN(A6/2)*A4/10000
Разликата в резултата е нищожно малка и то само за някои стойности на [tex]r[/tex] и [tex]h[/tex].

Може и без компютър ...ако калкулатора Ви има тригонометричните функции.

[i208]