Построение с монета и молив

[dgs]

Имаме монета. Имаме още бяла дъска и молив.
С молива и с помощта на монетата сме начертали окръжност на дъската - сложили сме монетата върху дъската и с молива сме обиколили по страничния ръб на монетата. След това върху окръжността сме фиксирали една произволна точка A.

Постройте точката B върху окръжността, такава че B да е диаметрално разположена на A.
За построението разполагате само с молива и монетата.

ПП. Нарочно е дъска, а не е лист хартия, за да не може да се прегъва.
ПП2. Очевидно, центъра на окръжността не е известен. Но ако някой стигне до решение, при което се нуждае от центъра на окръжноста, то ако желае нека го публикува и това решение.
ПП3. Не знам дали не е по-правилно да кажем, че с монетата сме нарисували кръг, а не окръжност. По правило, окръжноста като понятие задължително включва две неща - радиус и център, а в случая и двете липсват. Но да не издребняваме чак толкоз, условието е достатъчно ясно.
ПП4. Общо взето, с монетата и молива можем да правим малко неща. Едно от тях е да посторим окръжност(кръг) по дадени две точки, ако разстоянието между тези две точки е по-малко от диаметъра на монетата.

[Реклама]

[martosss]

Всички окръжности, които ще начертаем, ще са посредством монетата и ще са с един и същ радиус.

Нека дадената окръжност е к.
1. Чертаем окръжност к1, която да се допира до к в точка А.
2. Чертаем окръжност к2, която да се допира до к1 и к.
3. Чертаем окръжност к3, която да се допира до к2 и к.
4. Чертаем окръжност к4, която да се допира до к3 и к.
5. Допирната точка на к4 с к е търсената, тъй като триъгълниците, които се образуват от центровете на окръжности k, k_i, k_i+1 са равностранни, откъдето ъгъл О1ОО4=180
Дотук съм чертал окръжност, която да се допира до други две или до една окръжност в дадена точка, мисля че това е позволено, ако не е позволено МОЛЯ кажете какво е позволено !

[dim]

А можем ли да търкаляме монетата по молива, да отбелязваме с молива точки в/у монетата или да завъртаме моменетата около центъра си при условие, че сме описали окръжност около нея? Смятат ли се тези действия за "чисти"? Т.е. дали става въпрос за чисто геометрично построение само с окръжност или има някоя врътка с инструментите?

[dgs]

[jorko888]

От т. А пускате секателни прави до пресичане на окръжността.
Най-дългата от тях е диаметъра.

[ганка симеонова]

[dgs]

За да не ви е скучно докато мислите за монети, ... мислете за банкноти. Ъъъ ... обърках се, друго исках да кажа.

За да не ви е скучно докато мислите за монетата ,можете да видите тук как може да стане построяването на допирателната само с линийка.
Спестил съм някои очевидни второстепенни детайли в доказателството и в описанието на построението, като разчитам, че голяма част от нещата се изясняват от картинката.

I.
Имаме окръжност с център O и фиксирана точка А върху окръжността

II.
Избираме две точки C и D върху окръжността. Изборът е такъв, какъвто е на картинката - ъгъл AOC е остър, ъгъл AOD е остър, D лежи на късата дъга между C и A
Строим правите:
p1 - през A и О, с B означаваме другата пресечна точка на окръжността с тая права p1
p2 - през B и C
p3 - през B и D
p4 - през A и C
p5 - през A и D
Пресечната точка на p2 и p5 означаваме с N
Пресечната точка на p3 и p4 означаваме с M. Тази точка M се явява ортоцентър в триъгълника ABN, защото BD и AC са височини в този триъгълник.
Построяваме правата p през M и N. Тази права p е перпендикулярна на на AB, защото минава през N и ортоцентъра M



III.
Построяваме правата q симетрична на p (спрямо O), като за целта предварително построяваме q1 и q2

IV.
Построяваме правите t1, t2 така както са на картинката.
Построяваме правите t3, t4 така както са на картинката.
Построяваме правата t

V.
Намираме центъра на правоъгълника заключен между правите p, t, p1 и t2, като за целта построяваме правите s1 и s2 така както са на картинката
Центъра се явява пресечната точка на тия две прави s1 и s2 и го означавам с P
Заради някаква симетрична прегледност, бихме могли да намерим по същия начин и центъра на другия правоъгълник заключен между правите p, t, p1 и t1. Но единия център ни е предостатъчен
(Тук в V, под "център на правоъгълник" се разбира "пресечната точка на диагоналите в правоъгълника")

VI. Построяваме правата d през A и P
И това е търсената допирателна. Защото елементарно се доказва например, че d е успоредна на p, която пък е перпендикулярна на AB.


И сега, ако martosss си спомня, преди време му отправих следния персонален въпрос-закачка: "Дадена е окръжност. Само с линийка да се построи вписан или описан квадрат. А най-добре и двата".
Аз си направих труда да нарисувам картинката и да напиша този пост, ще се надявам той или който и да е друг да си направи труда да отговори на този въпрос.

[martosss]

[martosss]

Вписаният квадрат по твоята процедура го докарах, остана описаният

1. По гореописаният начин си чертаем диаметър АВ и хорда КР, перпендикурна на АВ.
2. Нека РТ и КМ са диаметри(Т и М са симетрични на Р и К спрямо О).
3. Нека РК и МТ пресичат АВ съответно в точки Е и Н.
4. Нека ЕМ и РН се пресичат в точка Х.
5. Нека ОХ пресича окръжността в точки С и Д.

Търсеният вписан квадрат е АСВД

Нека сега по Вашия метод начертаем допирателни през А, В, С и Д, и те се пресичат в точки А₁, В₁, С₁, Д₁. Тогава А₁В₁С₁Д₁ е търсеният описан квадрат

[dgs]

Напълно съм съгласен с решението ти за квадратите. Не е никак трудно, нали. Надявам се, че като цяло е било интересно. И благодаря за отделеното време.

А сега да се върнем на монетата.
1. За да не става недоразумение, да отбележа, че с линийката постояваме допирателна права в точката A, а при монетата говорим за допирателна окръжност в точката A.

2.