Относително лесна олимпиадна тема

[Spider Iovkov]

Задача 1. Да се определят интервалите на растене и намаляване на функцията [tex]f(x)=\frac{\sqrt{x+a}}{x^2+xb+6}[/tex], където [tex]a=\lim_{x\to\ \infty}[2(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1})][/tex], а [tex]b[/tex] е по-големият корен на уравнението [tex]log_{\sqrt{5}}(9^x+1)-log_{\sqrt{5}}(3^x-1)=2[/tex]. (7 точки)

Задача 2. Дадена е функцията [tex]f(x)=4^{sin^2x}-3p2^{sin^2x}+2p^2, p\in R[/tex].
а) да се реши уравнението [tex]f(x)=0[/tex] при [tex]p=1[/tex];
б) за кои стойности на параметъра [tex]p[/tex] уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има решение. (7 точки)

Задача 3. Прав кръгов конус и прав кръгов цилиндър имат обща основа. Върхът на конуса съвпада с центъра на горната основа на цилиндъра. Лицето на пълната повърхнина на цилиндъра е [tex]\frac{3}{2}[/tex] от лицето на пълната повърхнина на конуса. Да се намери косинусът на ъгъла между височината на конуса и неговата образувателна. (7 точки)

[Реклама]

[ганка симеонова]

Извини ме, но това не е олимпиадна тема, а дърводелски задачи с досадно смятане

[Spider Iovkov]

Задача 1 (а). [tex]a=\lim_{x\to\ \infty}[2(\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1})]=\\=\lim_{x\to\ \infty}2(\lim_{x\to\ \infty}\sqrt{x^2-x+1}-\lim_{x\to\ \infty}\sqrt{x^2+x+1}=2(\sqrt{\lim_{x\to\ \infty}(x^2-x+1)}-\sqrt{\lim_{x\to\ \infty}(x^2+x+1)}) \Rightarrow \\ \Rightarrow a=-2;[/tex] [tex](1)[/tex]

[tex]log_{\sqrt{5}}(9^x+1)-log_{\sqrt{5}}(3^x-1)=2, DM_{x}: x>0, log_{\sqrt{5}}\frac{9^x+1}{3^x-1}=2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{9^x+1}{3^x-1}=5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{(3^x)^2+1}{3^x-1}=5, 3^x=t, t>0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{t^2+1}{t^2-1}=5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t^2-5t+6=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t_{1}=3, t_{2}=2; t_{1}\in DM_{t}, t_{2}\in DM_{t}; \\ 3^x=2 \Leftrightarrow x_{1}=log_{3}2; 3^x=3 \Leftrightarrow x_{2}=1; x_{2}>x_{1} \Rightarrow \\ \Rightarrow b=1;[/tex] [tex](2)[/tex]

От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] [tex]\Rightarrow f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x^2+x+6};[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{-\sqrt{x-2}(x-\frac{10}{3})(x+1)}{2(x-2)(x^2+x+6)^2}, x>2;[/tex]
[tex]x\in (2; \frac{10}{3}) \Rightarrow f'(x)[/tex] е намаляваща и следователно [tex]f(x)[/tex] е намаляваща при [tex]x\in (2; \frac{10}{3})[/tex]
[tex]x\in (\frac{10}{3}; +\infty) \Rightarrow f'(x)[/tex] е растяща и следователно [tex]f(x) [/tex] е растяща при [tex]x\in (\frac{10}{3}; +\infty)[/tex].

[Пафнутий]

Какъв е смисълът да пускаш задачи и сам да ги решаваш?

[r2d2]

Когато на човек не му се спи е страшно!!
Нека А е с координати[tex] A(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex], а G има координати [tex]G(x,0).[/tex]
Разстояниeто[tex] GA = \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{x^2-x+1}[/tex].
Aналогично за [tex]B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex] имаме [tex]GB=\sqrt{x^2+x+1}[/tex].
Тогава GA - GB при х->∞ = АВ = -1 и GA - GB при х->-∞=1!

Това всичко бе в рамките на шегата! Иначе се присъединявам към горното мнение, че подобен математически онанизъм е просто недопустим!