Неравенство от контролно за националния

[astateoftrance]

От 2003г., първото контролно в Казанлък:

[Реклама]

[nikup]

Има ли в условието, че a, b и c са положителни?

[Baronov]

[nikup]

[dim]

[tex]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}[/tex]<=>[tex]3-(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1})\le\frac{3}{2} [/tex]

Сега разглеждам лявата част на последното неравенство. Понеже [tex]b^2+1\ge 2b[/tex] :

[tex]3-(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1})\le 3-(\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a})\le 3-3\sqrt[3]{\frac{a}{2b}.\frac{b}{2c}.\frac{c}{2a}}= \frac{3}{2} [/tex] и неравенството следва. За последното неравенство използвам СА≥СГ.

[luboslav_p]

[dim]

Да. Прав си. Прибързах.

[martosss]

то така както е дадено невинаги е вярно !!! заместете с а=5, б=6, с=7

[dim]

Аз все повече си мисля, че е изпуснато нещо. Нещо като условен сбор. Примерно [tex]a+b+c=1[/tex] или [tex]a+b+c=3[/tex], което може да се окаже и по-удобно.

[astateoftrance]

Извинявайте, но се отплеснах когато качвах самия израз и пропуснах условието че сборът на a, b и c е 3, и a, b, c - неотрицателни Не съм искал да ви объркам..

[dim]

Има я във форума вече: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748&postdays=0&postorder=asc&start=60 , зад. 29. Почнали са като мене, ама не са засрали така решението .

ПП. Така или иначе сигурно нямаше да се сетя да я реша по тоя начин.

[astateoftrance]

Благодаря!

[martosss]

[dim]

[martosss]

точно това е въпроса - има ли "трикове", които да са валидни за много задачи ? примерно да се ползва, че ако е циклично може да се положи a+b+c=const или abc=const или нещо друго...

[Пафнутий]

Ако е хомогенно, т.е [tex]f(x,y,z)=f(sx,sy,sz)[/tex] , то Б.О.О можеш да положиш [tex]abc=k ,ab+bc+ca=k[/tex]

[Baronov]

[martosss]

Тоест в случая не е хомогенно, така ли? понеже като ги положим sx, sy, sz не става същото... тоест не може да положим abc=1 примерно?

[dim]

Не можем. Ако не си го видял вече, виж тука (зад. 14):
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748&postdays=0&postorder=asc&start=30 , добре е обяснено защо и кога може да се предполага това.

ПП. Тази Зад.14 даже преди не много време май пак беше пусната във форума и беше решена без никакви предполагания от рода [tex]abc=1[/tex], [tex]a+b+c=1[/tex].

[martosss]

Да, стана ми ясно, благодаря много