Бълха

[dgs]

Едно момиченце си играело с ластик.
Вързало го здраво за едно дърво, съвсем леко опънало ластика от другия край и проверило, че дължината на тази леко опъната част е точно един метър.
В този момент, от дървото върху ластика изпълзяла една куца и гладна бълха. Тя забелязала момиченцето и решила да го ухапе. Понеже била куца, можела да прави скокове само по един сантиметър. И направила първия си скок от 1см върху ластика, в посока към момиченцето, което държало ластика с ръка от другия незавързан край.

Момиченцето имало великолепно зрение и забелязало бълхата и нейния скок. Опа - не на мене тия - детето опънало ластка с 1 метър. Бълхата пак скочила 1см. Отново опъване +1м и нов скок +1см. Ластика бил с идеални характеристики - можел да се опъва равномерно до безкрайност!

Бълхата била гладна и упорита - скачала върху ластика с по 1см след всяко опъване от страна на момиченцето с 1м. И момиченцето било упорито - след всеки скок на бълхата от 1см опъвало ластика с още 1м.

Има ли шанс бълхата да ухапе момиченцето някога ?

[Реклама]

[savage309]

Има, разбира се.

[b1ck0]

Ще го ухапе след 100 скока, защото когато момиченцето опъва ластика с 1м, мести и бълхата на него.

[Добромир Глухаров]

Да означим с l_n пътя, изминат от бълхата върху ластика след n-тия скок, а с L_n - съответно дължината на ластика след n-тия скок на бълхата.

L_n = n метра

[tex]l_{n}[/tex] = { [tex][(1 . \frac{2}{1 } +1 ) . \frac{3}{2 } +1 ] . \frac{4}{3 } + \cdot \cdot \cdot[/tex] }[tex] \frac{n}{n-1 } + 1[/tex]

[tex]l_{n} = 1 . \frac{2}{1 } . \frac{3}{2 } . \frac{4}{3 } \cdot \cdot \cdot \frac{n}{n-1 } + \frac{3}{2 } . \frac{4}{3 } \cdot \cdot \cdot \frac{n}{n-1 } + \frac{4}{3 } . \frac{5}{4 } \cdot \cdot \cdot \frac{n}{n-1 } + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{n-1 } + 1[/tex]

[tex]l_{n} = n + \frac{1}{2 } . n + \frac{1}{3 } . n + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n-1 } . n + \frac{1}{n } . n = n \sum_{k=1}^{n } \frac{1}{k }[/tex] сантиметра [tex]= \frac{n}{100 } . \sum_{k=1}^{n } \frac{1}{k }[/tex] метра

[tex]l_{n} \ge L_{n} => \frac{n}{100 } . \sum_{k=1}^{n } \frac{1}{k } \ge n => \sum_{k=1}^{n } \frac{1}{k } \ge 100 [/tex] -> [tex]ln(n) \ge 100 => n \ge 2,688.10^{43}[/tex]

Дали бълхата ще успее да направи последния скок преди края на Вселената?

[dgalchev]

Дали има възможност бълхата да го достигне?
Ще си отговорим на това,ако определим дали бълхата е изминала повече от 1м след първото дърпане. Т.е. трябва да знаем как точно се опъва ластика - неговите характеристики.

[b1ck0]

Докато разсъждавах как точно се опъва ластика достигнах до интересни заключения.

1. Ластика трябва да се опъва равномерно, т.е. между всеки две съседни точки ще се "появи" крайно разтояние равно на [tex]\delta l[/tex].
Нека имаме две съседни точки от ластика A и B, както и че бълхата със всичките свои крака е стъпала в точка B (която е между A и момичето), то след опъването на ластика бълхата ще се е преместила в точка [tex]B_{1}[/tex], която се намира на разстояние [tex]\delta l [/tex] от точка B. След всяко опъване на ластика [tex]\delta l[/tex]намалява и в последствие клони към [tex]0[/tex], т.е. ластика всеки път се удължава с 1 метър а бълхата все по-бавно и по-бавно напредва. Не отчитам нейния скок защото все пак той не може да се съпостави с удължаването на ластика.


2. Ластика все още се разпъва равномерно (т.е. между всеки две съседни точки ще се "появи" крайно разтояние равно на [tex]\delta l[/tex]). Само че сега бълхата със задните си крака е стъпила в точка А а със предните в точка В.
а) ако [tex]\delta l > q[/tex], където q е дължината на самата бълха, то след първото разтягане бълхата ще бъде "разкъсана" от ластика и с това задачата приключва.
б) ако [tex]\delta l < q[/tex], само предните и крака ще се придвижват спрямо задните, но тъй като цялото удължение на ластика [tex]\Delta l = 1m > l_{skok} [/tex], то тя отново ще бъде неспособна да достигне момичето ...

И в трите възможни за мен ситуации бълхата няма да оспее да стигне до края на ластика преди критичният за нея момент ( момента на нейната смърт ) или с други думи няма да стигне жива до края на ластика ...

П.П: Пропуснал съм нещо много важно. При всоето удължаване ластика става по-тесен. И е възможно, когато той стане прекалено тесен (все пак да не забравяме че бъхата може да стои с четирите си крака в една точка ) бълхата ще падне от ластика.

П.П.П: Има и още една "възможност": Момиченцето докато упъва ластика да се окаже на същото място от където е започнало, или още по-лошо на едно и също място с бълхата(r=1cm). Тази възможност се основава на това че все пак земята е кълбо.

[g_kulekov]

Да формализираме задачата така:
1) Бълхата няма размери, т.е. представлява геометрична точка
2) Ластикът има едно измерение – дължина; няма широчина, казано иначе – представлява отсечка, т.е. част от геометрична права.
3) Ръката на момичето също няма размери, а съвпада с края на ластика, т.е. с точката, съответстваща на този край
4) Ластикът е идеален, т.е. всяко негово удължаване се разпределя равномерно по цялата му дължина.
Сега приемаме следния модел:
Разглеждаме едномерна координатна система (ос Ох). Началото на ластика е закрепено в т.О и има винаги координата 0.
Краят на ластика в началния момент има координата L₀=100 (100 см =1 м). В този начален момент бълхата има координата B₀=1 (току що е направила началния си скок от 1 см).
От тук нататък започва цикличен процес, състоящ се от две събития: А) Ластикът се удължава със 100 (1 метър); Б) Бълхата прави скок от 1 (см) в положителна посока (към края на ластика).
В края на i-ия цикъл краят на ластика има координата L_i, а бълхата има координата B_i.

L_i=100+100.i=100(i+1)

Използвайки това лесно намираме, че
[tex]\frac{L_i-L_{i-1}}{L_{i-1}}= \frac{1}{ i}[/tex]
[tex]L_i=\frac{i+1}{i } L_{i-1}[/tex]


Последното означава, че i-тото разтегляне на ластика става с коефициент [tex]k_i=\frac{i+1}{ i} [/tex]
Стойностите на коефициентите [tex]k_1, k_2, k_3[/tex] ... са съответно [tex]\frac{2}{1 } ,\frac{3}{ 2} , \frac{4}{3 } , ..., \frac{n+1}{ n}[/tex]

Да погледнем сега какво става с бълхата.
В началото на i-тия цикъл тя е в точка [tex]B_{i-1}[/tex]. Ластикът се разтегля с коефициент [tex]k_i[/tex], в следствие на което координата на бълхата автоматично става [tex]B_{i-1}.k_i [/tex] и едва тогава тя прави своя i-ти скок от 1 см, т.е.
[tex]B_i=B_{i-1}.k_i+1[/tex]

И така:
[tex]B_n=(...(((B_0.k_1+1).k_2+1).k_3+1) ...).k_n+1[/tex]

[tex]B_n=(B_0.k_1.k_2.k_3...k_n + k_2.k_3...k_n + k_3.k_4...k_n + ... + k_n)+1[/tex]

[tex]B_n=(B_0.\frac{2}{ 1} .\frac{3}{ 2}.\frac{4}{3 }...\frac{n+1}{n } + \frac{3}{ 2}.\frac{4}{3 }...\frac{n+1}{n } + ... \frac{n+1}{n })+1[/tex]

Като направим съкращенията и заместим [tex]B_0=1[/tex]
получаваме
[tex]B_n=(\frac{n+1}{ 1} +\frac{n+1}{ 2} +\frac{n+1}{3 } +...+\frac{n+1}{ n} )+1[/tex]
В крайна сметка координатите на бълхата са
[tex]B_n=(n+1).(1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{3 }+...+\frac{1}{ n}) +1 [/tex]

Съответните координати на края на ластика (ръката на момичето) са

[tex]L_n=100+n.100=100(n+1)[/tex]

Интересува ни има ли такава стойност на n, за която [tex]B_n[/tex]≥[tex]L_n[/tex]

Разглеждаме отношението
[tex]\frac{B_n}{L_n } = \frac{1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{3 }+...+\frac{1}{ n} }{100 } +\frac{1}{100(n+1) } [/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{B_n}{L_n } =\frac{1}{100}\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{3 }+...+\frac{1}{ n}) +0[/tex]=∞

От тук следва изводът, че за достатъчно голямо n
[tex]\frac{B_n}{ L_n}[/tex]≥1, т.е.
[tex]B_n[/tex] ≥ [tex]L_n[/tex]

С други думи - теоретично бълхата със сигурност ще достигне ръката на момичето. Някога. Но кога?

[dgs]

Вероятно се очаква някакъв мой коментар към написаните разсъждения и решения ?!
Чудя се какво бих могъл да добавя към написаното дотук от другите ?

За мен, задачата беше решена още с поста на Добромир Глухаров, въпреки, че той (според мен) има две неточности:

1. Първата е техническа - вероятно става въпрос за машинално ползване на изчислителна техника за изчисляване на броя скокове нужни на бълхата. Написал е: [tex]ln(n) \ge 100 => n \ge 2,688.10^{43}[/tex]
Къде-къде е по-добре да се напише [tex]ln(n) \ge 100 => n \ge e^{100}[/tex]
Всъщност не знам дали е уместно в случая да се говори за неточност, така като гледам на око, двете стойности може и да са равни, а и това [tex]2,688.10^{43}[/tex] доста добре визуализира порядъка на броя скокове.

2. Втората неточност е свързана с това доколко е редовна оценката за пътя на бълхата на k-тия скок. Т.е., доколко е редовно да правим с лека ръка граничен преход и да считаме, че на k-тия скок, бълхата е изминала път [tex]k.ln(k)[/tex]. Все пак, на практика на k-тия скок имаме крайна сума, която със сигурност е строго по-малка от [tex]k.ln(k)[/tex]. А пък ние впоследствие оценяваме, че за достатъчно голямо k имаме [tex]k.ln(k)\ge 100k[/tex]
Нещо такова се получава в разсъжденията: ако имаме [tex] a \le b [/tex] и [tex] b \ge c [/tex], то [tex] => a \ge c [/tex]. А това не е вярно.
В решението му липсва едно важно изречение, което обаче го има в поста на g_kulekov, а именно:
[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{B_n}{L_n } =\frac{1}{100}\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{3 }+...+\frac{1}{ n}) +0[/tex]=∞


А относно ластика, броя скокове и необходимото време за извършване на тия скокове:
Все пак това е специализиран математически форум и при така поставена задача, би трябвало никой да не си и помисля, че ластика може да се скъса някога, или пък, че ще дойде края на Вселената преди да се случи събитието.

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

Браво, луд, луд! Евала! Респект на макс имаш от мене. Ето и следната задача (надявам се да я решиш по твоя феноменален и, меко казано, гениален метод :DDD ): Гошо стои на 1 метър от 1 бълха. Всяка секунда бълхата скъсява разстоянието между тях. Предполага се, че бълхата няма никакви размери(може да се приеме като точка в равнината с център на координатната система Гошо, като при всеки скок тя се изобразява в центъра на отсечката (ГОШО)(Бълха)). Някога бълхата ще достигне ли до Гошо?
ПП Чакам с нетърпение поредното "елегантно" решение на ge0rg1.
ПП₂ ge0rg1, в горния имаш 2 пунктуационни грешки - открий ги сам ;]

[baroveca]

[krainik]

Чакам и други предложения. Абе, бълхата не може ли да "настранидва" (rofl)

[_sssss]

Хубава задача, сега я виждам, но ми се струва, че няма да стигне.
[tex]\normal \frac{1}{100}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .. + \frac{1}{n})<\frac{2}{100}[/tex]
Значи бълхата е на максимум [tex]\normal \frac{2}{100}[/tex] от момичето. Нали? Къде бъркам?

[martosss]

така смяташ само пътя на бълхата. Отделно при всяко разтягане на ластика бълхата се "мащабира", така че след първия скок на бълхата тя е на 99-тия см, тоест е изминала 1/100 от пътя. Когато ластикът се разтегне и стане 2 м, бълхата ще е отново на 1/100 от пътя, тоест на 2 см, тоест ще е на 198 см - движи се! Така че трябва да прибавиш и това движение(което май е трудната част)

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

Евала! Откри една грешка, която дори и аз не можах.Браво! Потърси още 1. Близко си

[112358-1,618-3,14]

[baroveca]

[krainik]

Аз си казах, че открих 1 грешка, която и аз не бях открил. Проблем?

[martosss]

Ако си представим, че бълхата изминава по-голям път, примерно 50 см, тя наистина настига момичето, сега ако започнем да намаляме разстоянието, тя отново ще стигне, но по-бавно. Ако изминава 1/100 е логично да сметнем, че тя отново ще стигне, но мноо-о-о-о-ого бавно

П.П. Стига с тия грешки, ясно е, че всички сме баламурници и не можем да пишем вярно, сега спрете

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

Извинявам се, че съм забравил да отбележа,че разстоянието се скъсява наполовина. Престани да перифразираш мнението ми - не съм казвал, че отговорът ти е грешен, а че самото доказателство!Горното ти решение е вярно, макар че имам забележка относно начина на описване. Сега ще приложа твоя метод тук.
За да НЕ стигне бълхата до Гошо, то бълхата НЕ трябва да напредва. А за да НЕ напредва тя трябва или да се движи в обратна посока спрямо Гоши, или да стои на едно място. Но бълхата НЕ се движи назад... Тя и НЕ стои на едно място... Следователно бълхата все някога ще стигне Гошо, защото по условие бълхата НАПРЕДВА...
Ясно ли ти стана вече?

[mkmarinov]

[dgs]

[112358-1,618-3,14]

[krainik]

До ge0rg1: Добре, покажи ми защо съм приложил грешно метода ти, т.е кажи ми защо са толкова различни двете задачите и защо метода ти да решава едната, а другата да не може? И сега не ми излизай с номера, че искаш да ти покажа защо метода ти е неприложим в горната задача. Не можело да се използва метода от една задача на друго - да, да... Както казва Иван Тонов - Метода е трик, който използваме повече от веднъж!