Интересни задачки :)

[nikup]

Зад 1. a>0, b>0, c>0

Докажете, че:

[tex]1<\frac{a}{a+b } + \frac{b}{b+c } + \frac{c}{a+c }[/tex]<2

Зад 2. [tex]\begin{tabular}{|l}y-1=x+m\\m^2x-4y=m^2 \end{tabular}[/tex]
При коя стойност на m, системата има безброй много решения?

Зад 3. [tex]\begin{tabular}{|l}x+a=y+b\\x^2 -a=2y\end{tabular}[/tex]

При какви стойности на a и b, системата има единствено решение [tex](x_{0 };y_{0 })[/tex] , за което [tex]x_{0 }^{10 }+ y_{0 }^{10 }= 1025[/tex]

ПП Май трябваше да ги пусна в другия раздел, могат да се решат със знания до 8-ми клас.

[Реклама]

[dim]

Зад.1 [tex]1<\frac{a}{a+b } + \frac{b}{b+c } + \frac{c}{a+c }[/tex]<2

Б.О.О., можем да приемем, че [tex]a\ge b\ge c[/tex]. Лявото неравенство е равносилно на: [tex]1-\frac{a}{a+b}<\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}[/tex]<=>[tex]\frac{b}{a+b}<\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}[/tex]<=>[tex]b(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c})<\frac{c}{a+c}[/tex]<=>[tex]b(\frac{b+c-a-b}{(a+b)(b+c)})<\frac{c}{a+c}[/tex]<=>[tex]\frac{b(c-a)}{(a+b)(b+c)}<\frac{c}{a+c}[/tex]. Оттук се вижда, че лявата страна е ≤0, а дясната >0, следователно неравнството е изпълнено.

Дясната страна на неревенството е равносилна на:[tex]\frac{a}{a+b}-1+\frac{b}{b+c}-1+\frac{c}{a+c}<0[/tex]<=>[tex]\frac{c}{a+c}<\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}[/tex]<=>[tex]c(\frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)})<\frac{c}{b+c}[/tex]<=>[tex]\frac{c(b-a)}{(a+c)(b+c)}<\frac{c}{b+c}[/tex], което също е вярно, защото дясната страна на неравнството е ≤0, а лявата >0.

Ако това е коректното решение, то това се прави почти без знания => не е за този раздел.

[Пафнутий]

За първа задача- Известно е дори по-силното неравенство валидно за положителни числа- [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}[/tex] , известно като неравенство на Несбит

[dim]

[Пафнутий]

Извинявам се Сторило ми се е, че става на въпрос за Несбит Извинявай Недоглеждане....

[dim]

Няма за какво. Всеки греши.

[martosss]

[martosss]

[dim]

Браво! Но това не дава отговор дали допускането [tex]a\ge b\ge c[/tex] в този случай е основателно, т.е. дали е наистина Б.О.О.?

[martosss]

Доколкото знам даденото трябва да е циклично, за да е възможно това допускане, а това наистина е циклично, защото ако сменим "а" с "б", "б" с "с" и "с" с "а" неравенството няма да се промени, тоест можеш да го допуснеш

[Baronov]

[luboslav_p]

[tex]\frac{a}{ a+b}[/tex]+[tex]\frac{b}{ b+c}[/tex]+[tex]\frac{c}{ c+a}[/tex]>[tex]\frac{a}{ a+b+c}[/tex]+[tex]\frac{b}{ b+c+a}[/tex]+[tex]\frac{c}{ c+a+b}[/tex]=1
[tex]\frac{a}{ a+b}[/tex]+[tex]\frac{b}{ b+c}[/tex]+[tex]\frac{c}{ c+a}[/tex]=3-([tex]\frac{b}{ a+b}[/tex]+[tex]\frac{c}{ b+c}[/tex]+[tex]\frac{a}{ c+a}[/tex])<2

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]