комплексни числа

[deli_11]

бих искала да попитам как да продължа първата задача и как се решава втората задача ще ви бъда много благодарна за помощта

[Реклама]

[gdimkov]

[tex]z=\sqrt{3} +i=|z|(cos\alpha +i\sin\alpha ),\,\alpha =argz[/tex]
[tex]z=x+iy,\,|z|=\sqrt{x^2+y^2} ,\,argz=actg{\frac {y}{x}}[/tex]
Сега пиша направо без подробни сметки. Ще си ги направиш сама.
[tex]|\sqrt{3} +i|=2,\, arg(\sqrt{3} +i)=\frac {\pi }{6}[/tex]
[tex]z^4=|z|^4(cos4\alpha +i\sin4\alpha )[/tex]
[tex](\sqrt{3} +i)^4=16(cos{\frac {2\pi }{3}}+i\sin{\frac {2\pi }{3}})[/tex]
Мисля, че няма да те затрудни да пресметнеш, че [tex]1+i=\sqrt{2}(cos{\frac {\pi }{4}} +i\sin{\frac {\pi }{4}})[/tex].
Сега имаме [tex]\frac {3 \sqrt{2}(cos{\frac {\pi }{4}} +i\sin{\frac {\pi }{4}})}{16(cos{\frac {2\pi }{3}}+i\sin{\frac {2\pi }{3}})}[/tex]. Делим модулите и вадим от аргумента на числителя аргумента на знаменателя.
[tex]{\frac {3\sqrt{2}}{16}}\left (\cos \left (-{\frac {5\pi }{12}}\right )+i\sin \left (-{\frac {5\pi }{12}}\right )\right )[/tex]

[tex]z^3=2(1-i)=2\sqrt{2}\left (cos{\frac {3\pi }{2}}+i\sin{\frac {3\pi }{2}}\right)[/tex]
[tex]z=\left (2\sqrt{2}\left (cos{\frac {3\pi }{2}}+i\sin{\frac {3\pi }{2}}\right)\right )^{1/3}[/tex]. Сега делим аргумента на 3 и добавяме [tex]2k\pi ,\,k=0,\,1,\,2[/tex]
[tex]z=(2\sqrt{2})^{1/3}\left (cos{\frac {\pi +2k\pi }{2}}+i\sin{\frac {\pi +2k\pi }{2}}\right),\,k=0,\,1,\,2[/tex].

[deli_11]

благодаря

[deli_11]

искам да попитам за втората зада4а какво е решението ако може да ми помогнете

[gdimkov]

Най-напред силно се надявам, че в [tex]x^3=2-2i[/tex] х е комплексно число. Традиционно ги бележим със z, но това може да се вземе като незначителна подробност. Все пак аз ще го напиша [tex]z^3=2-2i[/tex]. В такъв случай [tex]z=\sqrt[3]{2-2i} [/tex]. Нека припомня, че в комплексна област всяко уравнение, което има решение, има точно толкова корена, колкото е степента му, като всеки кратен корен броим за толкова корена, колкото е кратността му. Тъй като трябва да коренуваме, това най лесно става като напишем числото в тригонометричен вид. И така [tex]|z|=\sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{2^3} [/tex], [tex]\arg z=arctg \frac {-2}{2}=arctg(-1)[/tex]. Обаче [tex]arctg(-1)[/tex] има две стойности, които са противоположни числа. Числото 2-2i е в четвърти квадрант. Затова избираме [tex]arctg(-1)=-\frac {\pi }{4}[/tex]. Сега имаме [tex]2-2i=\sqrt{2^3} \left (cos (-\frac {\pi }{4})+i\sin(-\frac {\pi }{4})\right )[/tex].
[tex]z=\left(\sqrt{2^3} \right )^{\frac {1}{3}} (cos \alpha +i\sin\alpha )=\sqrt{2} (cos \alpha +i\sin\alpha )[/tex], където [tex]\alpha =\left (-\frac {\pi }{4}+2k\right)\pi ,\,k=0,\,1,\,2[/tex].

[deli_11]

благодаря много за разяснението