уравнение от СУ

NoThanks · Гост

[tex]3^{x^2}(3^{2x+2} - 1) = 3^x.6552[/tex]

Реклама

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Oct 20, 2008 6:38 pm Заглавие:

Преобразуваме до [tex]3^{x^{2}-x}.(3^{2x+2}-1)=6552[/tex]. Сега лесно се доказва, че при [tex]x\ge \frac{1}{2 } [/tex] лявата страна е растяща функция и тъй като дясната е константа, то уравнението може да има само един реален корен. Сега остава да забележим, че x=2 е корен.
За [tex]x<\frac{1}{2 } [/tex] ще го мислим още!!!

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Oct 20, 2008 6:47 pm Заглавие:

При [tex]x\le -1[/tex] изразът в скобите от горния ми пост е отрицателен или 0 и следователно уравнението няма решение.

Остава да разберем какво става в [tex](-1;\frac{1}{ 2}) [/tex].

martosss

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Oct 20, 2008 10:27 pm Заглавие:

Готов съм! При [tex]x\in (-1;\frac{1}{ 2} )[/tex] имаме [tex]x^{2}<1, 2x+2<3[/tex],

откъдето [tex]\frac{3^{x^{2}}.(3^{2x+2}-1)}{3^{x} } <\frac{3^{1}.(3^{3}-1)}{3^{-1} } =234[/tex], т.е уравнението няма решения и в този интервал. И така, единственото решение на уравнението е числото 2.

NoThanks · Гост

Така е

На мен по принцип ми казаха, че оригиналното решение било като се представи 6552 като 3^степен - 1. И да се получи като лявата страна и се приравняват скоба на скоба, но нещо не виждам как ще стане, след като 6552 = 3^8 - 9 (може би условието да е било 6562 Surprised

) Иначе и аз измислих нещо подобно вчера Smile

[tex]6552 = 9.8.7.13[/tex]
[tex]3^{x^2 - x} = \frac{9.8.7.13}{3^{2x+2} - 1}[/tex]
Сега си разглеждаме 3 случая:
1) [tex]3^{x^2-x} \in (0;1) \leftrightarrow x \in (0;1)[/tex] При тези стойности на х обаче [tex]3^{2x+2}-1[/tex] е по-малко от 80, а 6562/80 > 1. => н.р.
2) [tex]x \in(-1;0) \cup x>1[/tex]
от лявата страна на у-ето имаме степен на 3ката, откъдето следва, че за да има уравнението решение трябва и дясната страна да е степен на 3ката. Но сред множителите на 6552, единственият, който се дели на 3(и е степен на 3) е 9ката. Знаменателят 3^{2x+2}-1 очевидно не е степен на 3. Откъдето единствената възможност за решение остава;
[tex]3^{x^2-x} = 9[/tex] [tex]3^{2x+2} - 1 = 728[/tex]
[tex]3^{2x+2} = 3^6[/tex]
[tex]2x+2 =6 \leftrightarrow x = 2[/tex]
[tex]3^{4-2} = 3^2[/tex] => да!
3) x<-1 => [tex]3^{x^2-x} > 1[/tex]
[tex]3^{2x+2} \in (0;1)[/tex] Случаят се свежда все едно до това да разгледаме:
[tex]3^{x^2-x} = \frac{9.8.7.13.3^{2x+2}}{1-3^{2x+2}}[/tex]
при [tex]x \in (-1;0) \cup (1;\infty)[/tex]
Но [tex]1-3^{2x+2} <0[/tex], a [tex]3^{x^2-x} > 0[/tex] => Н.Р.
=> само х=2.