симпатична система - още веднъж

[gdimkov]

Връщам се към системата, която Ганка Симеонова предложи на 4 октомври.
[tex]x_1x_2x_3\dots x_n=1[/tex]
[tex]x_1-x_2x_3\dots x_n=1[/tex]
[tex]x_1x_2-x_3x_4\dots x_n=1[/tex]
[tex]\dots [/tex]
[tex]x_1x_2\dots x_{n-1}-x_n=1[/tex]
Emo и NoThanks дадоха решения, в които започват по един и същи начин, но продълженията им са различни.
Когато имаме уравнение или система уравнения, си задаваме два въпроса: има ли уравнението (системата) решение; ако има решение, колко на брой са решенията. В нашия случай имаме система от уравнения. Ако в системата броят на неизвестните е равен на броя на уравненията и тя има решение, то максималният брой решения е произведението от степените на уравненията, участващи в нея.
Колко решения има тази система и как изглеждат те. Ще се опитам да направя някои разсъждения. В процеса на тези разсъждения ще използвам следното означение [tex]a=\frac {1+\sqrt{5}}{2}[/tex].
Да разгледаме случая [tex]n=2[/tex].
[tex]x_1x_2=1[/tex]
[tex]x_1-x_2=1[/tex]
Получаваме уравнението [tex]x_1^2-x_1-1=0[/tex]. Неговите корени са [tex]x_1=a,\,-\frac {1}{a}[/tex]. След това получаваме [tex]x_2=-a,\,\frac {1}{a}[/tex]. Системата има следните две решения: [tex]\left (a,\,\frac {1}{a}\right )[/tex] и [tex]\left (-\frac {1}{a},\,-a\right )[/tex].
[tex]n=3[/tex]
[tex]x_1x_2x_3=1[/tex]
[tex]x_1-x_2x_3=1[/tex]
[tex]x_1x_2-x_3=1[/tex]
От І и ІІ уравнение намираме [tex]x_1=a,\,-\frac {1}{a}[/tex], а от І и ІІІ - [tex]x_3=-a,\,\frac {1}{a}[/tex].
Като изберем [tex]x_1=a[/tex], [tex]x_3=-a[/tex], получаваме [tex]x_2=-\frac {1}{a^2}[/tex]. По този начин получихме следното решение на системата
[tex]\left (a,\,-\frac {1}{a^2},\,-a\right )[/tex].
С помощта на останалите три двойки стойности на [tex]x_1[/tex] и [tex]x_3[/tex] получаваме още три решения на системата.
[tex]\left (a,\,1,\,\frac {1}{a}\right )[/tex], [tex]\left (-\frac {1}{a},\,1,\,a\right )[/tex], [tex]\left (-\frac {1}{a},\,-a^2,\,\frac {1}{a}\right )[/tex].
В този случай системата има 4 решения.
[tex]n=4[/tex]
[tex]x_1x_2x_3x_4=1[/tex]
[tex]x_1-x_2x_3x_4=1[/tex]
[tex]x_1x_2-x_3x_4=1[/tex]
[tex]x_1x_2x_3-x_4=1[/tex]
По аналогичен начина намираме [tex]x_1=a,\,-\frac {1}{a}[/tex] и [tex]x_4=-a,\,\frac {1}{a}[/tex]. От ІІІ уравнение определяме [tex]x_3=\frac {x_1x_2-1}{x_4}[/tex], което заместваме във ІІ уравнение и получаваме [tex]x_1.x_2^2-x_2+1-x_1=0[/tex]. [tex]D=1-4x_1(1-x_1)=5[/tex] и за двете стойности на [tex]x_1[/tex]. Така получаваме
при [tex]x_1=a\rightarrow x_2=1,\,-\frac {1}{a^2}[/tex]
при [tex]x_1=-\frac {1}{a}\rightarrow x_2=1,\,-a^2[/tex].
За [tex]x_3[/tex] имаме дроб, чийто числител взима 4 стойности, а знаменателят – 2. В такъв случай [tex]x_3[/tex] участва в 8 комбинации от стойности на другите три променливи, което означава, че системата има 8 решения. Ще напиша две от тях.
[tex]\left (a,\,1,\,\frac {1-a}{a},\,-a\right )[/tex]
[tex]\left (-\frac {1}{a},\,-a^2,\,\frac {1-a}{a},\,-a\right )[/tex].
Полученото до тук ни дава основания да предположим, че системата има [tex]2^{n-1}[/tex] решения. Не се наемам да кажа как да дадем резултати за произволно n.

[Реклама]