Ирационално неравенство

[r2d2]

Решете:
[tex]\sqrt{x-1}+x-4 \ge \sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

[Реклама]

[martosss]

[tex]x=\frac{9+ \sqrt {13}}{2}[/tex]

П.П. Две повдигания на квадрат + Метод на неопределените коефициенти за решаване на у-я от 4-та степен

П.П.П. Ето решение:

Д.С. [tex]x\ge 1,\: x\ge \frac{9-\sqrt{13}}{2}[/tex] => [tex]x\ge \frac{9-\sqrt{13}}{2}[/tex]

Повдигаме на квадрат и получаваме

[tex]2(x-4)\sqrt{x-1}\ge x^2-7x+15[/tex]

Дясната страна е винаги положителна, откъдето и лявата също трябва да е положитлена, откъдето Д.С. [tex]\red x\ge 4[/tex] и повдигаме пак на квадрат.

Получаваме

[tex]x^4-18x^3+115x^2-306x+289\le 0[/tex]

[tex](x^2-9x+17)^2\le 0[/tex]

[tex]x=\frac{9\pm \sqrt{13}}{2}[/tex], обаче [tex]\frac{9-\sqrt{13}}{2}<4\Right [/tex] единственото решение е [tex]x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}[/tex].

[martosss]

Тия от 4-та степен много ги обичкам

[r2d2]

Tova, 4e go pravi6 naro4no e qsno!
Ama 6to go prqavi6, ne vqrvam 4e nqma6 mozyk za ne6to po normalno!

[martosss]

Честно да ви кажа, ако съм на състезание или изпит е много по-лесно да се реши задачата по моя начин, защото примерно тази не мога нищо да измисля, просто не се сещам.... най-много да се положи [tex]\sqrt{x-1}=t[/tex], при което да се спестят малко цифри, ама пак става четвърта степен и пак трябва да се разложи до точен квадрат сега като го пробвах с полагането стана [tex]a^4-2a^3-5a^2+6a+9\le 0\Right (a^2-a-3)^2\le 0[/tex] откъдето се връщаме в полагането и намираме същия корен Наистина така цифрите са по-хубави, но все пак трябва да се сетим, че е точен квадрат, което не е лесно за съобразяване и не отговаря на станадартите за "очевидност" и "красота" на решението, но все пак е вярно

[b1ck0]

[tex] sqrt{x-1} + x - 4 \ge sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

[tex] x-1 + sqrt{x-1} -3 \ge sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

[tex] x-1 + 2.\frac{1}{2}sqrt{x-1} + \frac{1}{4} -3\frac{1}{4}\ge sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

[tex] [ (x-1) + \frac{1}{2} ]^{2} - 3\frac{1}{4} \ge sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

[tex] (x-\frac{1}{2})^{2} - 3\frac{1}{4} \ge sqrt{2x^2-14x+30}[/tex]

От тук получаваме системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}2x^2-14x+30 > 0 \\ (x-\frac{1}{2})^{2} - 3\frac{1}{4} > 0 \\ 2x^2 - 14x+30 < [(x-\frac{1}{2})^{2}-3\frac{1}{4}]^{2} \end{tabular}[/tex]

Първото уравнение е изпълнено за всяко х ..
Второто уравнение се свежда до:

[tex]x^2 - x + \frac{1}{4} - 3\frac{1}{4} > 0[/tex]

[tex]x^{2} - x -3 >0 \Rightarrow x \in (-\infty;\frac{1}{2} - \frac{sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{1}{2}+\frac{sqrt{13}}{2};\infty)[/tex]

А във третото уравнение имаме:

[tex]2x^2-14x+30 < (x^2-x-3)^{2}[/tex]

[tex]2x^2-14x+30 < x^4 - 2x^3 -5x^2 + 6x + 9 [/tex]

[tex]x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 20x - 21 > 0 [/tex]

[NoThanks]

Нека
[tex]\sqrt{x-1} = a[/tex]
[tex]x-4 = b[/tex]
Имаме ДС: [tex] x \in [\frac{9-\sqrt{13}}{2}; \infty)[/tex] (освен ако не съм олял нещо).
Изразът ни е :
[tex]a+b \ge \sqrt{2(x^2-7x+15)}[/tex]
Но [tex]b^2 = x^2 - 8x +16[/tex]
[tex]a^2 = x-1[/tex] =>[tex]b^2 + a^2 = x^2-7x+15[/tex]
=>
[tex]a+b \ge \sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
[tex]a^2 + 2ab + b^2 \ge 2a^2 + 2b^2[/tex]
[tex]a^2 -2ab +b^2 \le 0[/tex]
[tex](a-b)^2 \le 0 [/tex]
=> a =b

[b1ck0]

Решението на noThanks ми хареса ...

[martosss]

И така става също, браво

[Пафнутий]

Страхотно решение, NoThanks

[r2d2]

[martosss]

Браво

[ганка симеонова]

[Пафнутий]

Но пък не е забранен на състезания
ПП Марто, това, което направи беше тъпооо Да беше казал просто БРАВО, без нищо. Дори и след като r2d2 ти направи забележка, ти написа НЕВЕРОЯТНО E, последвано от хилене, което си е пълна обида към NoThanks и към безупречното му решение

[martosss]

[Baronov]

[martosss]

Тук някъде бях чел, че Питагор също е забранен Само дето косинусовата теорема не могат да я забранят

[r2d2]

1. МОН да го ...
2. Теоремата на Питагор (не Питагорчо, както един "моряк" пише Менелайчо) беше "забранена" от мен и то само като намек, че понякога е по-добре да се използва тригонометрия. Същото важи и за теоремата на Херон(чо).

3. Виж, ако зависи от мен ( да не се бърка с МОН) решаване на уравнения от степен >=3 бих забранил! Леле на колко изпита съм гледал как решават у-ния от 8-ма.

Идеята е, че ако нормален човек дава задача, тя не се решава с у-ние или неравенство от 4-та, а дори и от трета степен.

По мои наблюдения задачите ги дават нормални хора.
Говоря за СУ и УАСГ. За другите не поемам отговорност!