Две задачи,свързани с математическа индукция( от11клас)

[domls]

Пак проблем с домашната Ако някой намери две - три минутки да надраска решението ми спасява животеца
Зад. 1 Ако n е естествено чосло, да се докаже, че : 1/(n +1) + 1/(n +2) +1/(n +3)+...+1/2n >13/24 за всяко n >1
Зад.2 За редицата на Фибоначи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,..., определена с а₁=1, а₂=1, а n= аn-1 + а n-2, докажете, че а1+а3+а5+...+а 2n -1=а 2n
Благодарско, предварително

[Реклама]

[Пафнутий]

При n=2 ,твърдението е вярно допускаме, че за произволно k е изпълнено:
[tex] a_{1}+a_{3}+...+a_{2k-1}=a_{2k}[/tex].
За [tex]k+1[/tex] имаме:
[tex]a_{1}+a_{3}+...a_{2k-1}+a_{2k+1}=a_{2k}+a_{2k+1}=a_{2k+2}=a_{2(k+1)}[/tex], с което индукционната стъпка е завършена и твърдението е доказано

[domls]

Мерси, човече



Остана само зад.1.

[Пафнутий]

[tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}[/tex]
При [tex]n=2[/tex] , твърдението е вярно
Да допуснем, че за произволно естествено число [tex]k>2[/tex] е вярно:
[tex]\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}>\frac{13}{24}[/tex]
За [tex]k+1[/tex] получаваме:
[tex]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}>\frac{13}{24}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}=\frac{13}{24}+\frac{-(2k+1)(2k+2)+(k+1)(2k+2)+(k+1)(2k+1)}{(k+1)(2k+1)(2k+2)}=\frac{13}{24}+\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}>\frac{13}{24}[/tex]

[domls]

Blagodarq, 4ove4e http://www.yonkis.com/mediaflash/1000000.swf