Ирационално уравнение с три неизвестни!

[estoyanovvd]

Решете уравнението

[tex]x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{2-z^{2}} +z\sqrt{3-x^{2}}=3 [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

Нека
[tex]\sqrt{1-y^2} =a [/tex]
[tex]\sqrt{2-z^2}=b[/tex]
[tex]\sqrt{3-x^2}=c[/tex]
[tex]ax+by+cz=3[/tex]
Но!
[tex]a^2+b^2+c^2 = 6-(x^2+y^2+z^2)[/tex]
[tex]3 = \frac{a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2}{2}[/tex]
=>[tex]2ax+2by+2cz = a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2[/tex]
[tex](a-x)^2+(b-y)^2 + (c-z)^2 =0[/tex]
Но всички са > Или равни на 0 => единствено реш, когато са =0
=> a=x;b=y;c=z, което вече си се решава
И окончателно:
[tex]x=\pm1; y = 0; z=\pm\sqrt{2}[/tex]

[estoyanovvd]

Само трябва да махнеш излишните решения!

[NoThanks]

Мда, тези с минусите вярно, че не стават(проверява се чрез директно заместване).
[tex]x=1; \; y=0; \; z = \sqrt{2}[/tex]