Задача трепач!

[estoyanovvd]

Нека [tex]x_{1},x_{2}[/tex] са корените на уравнението [tex]x^{2}+3x+a=0[/tex], а [tex]x_{3},x_{4}[/tex] са корените на уравнението [tex]x^{2}+12x+b=0[/tex]. Намерете [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], ако числата [tex]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}[/tex] в посочения ред образуват геометрична прогресия.

[Реклама]

[Пафнутий]

Нека частното на геометричната прогресия да бъде [tex]q[/tex]. От формулите на Виет имаме:
[tex] \begin{tabular}{|l}x_{1}+x_{2}=-3\\x_{3}+x_{4}=-12 \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x_{1}+q.x_{1}=-3\\q^2.x_{1}+q^3x_{1}=-12 \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x_{1}(1+q)=-3\\q^2.x_{1}(1+q)=-12 \end{tabular}\Rightarrow q^2=4\Rightarrow q=\pm 2[/tex]
1 случай: [tex]q=2 \Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=-2,x_{3}=-4,x_{4}=-8[/tex]. От формулите на Виет имаме [tex]x_{1}x_{2}=a[/tex] и [tex]x_{3}x_{4}=b[/tex], откъдето получаваме [tex]a=2, b=32[/tex]
2 случай: [tex]q=-2 \Rightarrow x_{1}=3,x_{2}=-6,x_{3}=12,x_{4}=-24[/tex]. Отново по Виет [tex]x_{1}x_{2}=a[/tex] и [tex]x_{3}x_{4}=b[/tex] , откъдето [tex]a=-18,b=-288[/tex]
При [tex]a=2,b=32[/tex] и [tex]a=-18,b=-288[/tex] , корените на двата квадратни тричлена образуват геометрична прогресия. Q.E.D

[estoyanovvd]

Правилен подход!