Докажете тъждеството(рационални изрази)

[w00p00]

Решавам задачи тук в един сборник и нещо ми се поупря това:
1/(a(a+1))+1/(a+1)(a+2)+1/(a+2)(a+3)+1/(a+3)(a+4)+1/(a+4)(a+5)=5/(a(a+5)

също искам да пипитам как с помощта на:
1/(k(k+1))=1/k-1/(k+1) (това го доказвам)
се изчислява:
1/(10.11)+1/(11.12)...+1(49.50)

благодаря предварително на помагащите и тези които се опитват да помагат

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1. След разширяване с допълнителните множители от общия знаменател получаваш:

[tex]\frac{(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)+a(a+3)(a+4)(a+5)+a(a+1)(a+4)(a+5)+a(a+1)(a+2)(a+5)+a(a+1)(a+2)(a+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}=\\=\frac{(a^2+5a+6)(a^2+9a+20)+(a^2+3a)(a^2+9a+20)+(a^2+a)(a^2+9a+20)+(a^2+a)(a^2+7a+10)+(a^2+a)(a^2+5a+6)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}[/tex].

Комбинираме първото с второто и третото с четвъртото и петото и имаме:

[tex]\frac{(a^2+9a+20)(2a^2+8a+6)+(a^2+a)(3a^2+21a+36)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}=\\=\frac{2(a^2+9a+20)(a^2+4a+3)+3(a^2+a)(a^2+7a+12)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}=\\=\frac{2(a+4)(a+5)(a+1)(a+3)+3a(a+1)(a+3)(a+4)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}=\\=\frac{(a+1)(a+3)(a+4)(2a+10+3a)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)}=\\=\frac{5a+10}{a(a+2)(a+5)}=\\=\frac{5(a+2)}{a(a+2)(a+5)} \\ \Rightarrow \frac{5}{a(a+5)}[/tex]

[martosss]

като знаем, че [tex]\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{1}{a(a+1)}[/tex] лесно изчисляваме, че [tex]\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+...\frac{1}{(a+4)(a+5)}=\frac{1}{a}\cancel {-\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+2}-\cdots +\frac{1}{a+4}}-\frac{1}{a+5}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+5}=\frac{5}{a(a+5)}[/tex]

[martosss]

за долното имаш, че [tex]\frac{1}{10*11}=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}...[/tex] и по същия начин действаш, става 1/10-1/50=2/25