Функция

[Spider Iovkov]

Да се намери връзката между [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], ако максимумът и минимумът на функцията

[tex]f(x)=\frac{x^2+2ax+1}{x^2+2bx+1}, a\neq b[/tex]

са противоположни числа.

[Реклама]

[Saposto_MM]

Нека [tex]f\left(x\right)=y[/tex]. Очевидно [tex]y\ne 1[/tex]. Решаваме уравнението [tex]y=\frac{x^2+2ax+1}{x^2+2bx+1}[/tex], като квадратно относно x и получаваме [tex]D=\left(2by-2a\right)^{2}-4\left(y-1\right)^{2}[/tex]. Съществена част от условието е, че [tex]f\left(x\right)=\frac{x^2+2ax+1}{x^2+2bx+1}[/tex] има максимум и минимум. Понеже x е реално [tex]\left(2by-2a\right)^{2}-4\left(y-1\right)^{2}\ge 0[/tex], решенията, на което трябва да са затворени в някакъв интервал. Следователно [tex]b\ne \pm 1[/tex].След решаване на неравенството получаваме [tex]\frac{a-1}{b-1}\le y\le \frac{a+1}{b+1}[/tex] и от условието [tex]\frac{a-1}{b-1}=-\frac{a+1}{b+1}[/tex], откъдето [tex]ab=1[/tex].

[Spider Iovkov]

Точно така, .

[Saposto_MM]

Още, ако най-голямата и най-малката стойност на фунцията [tex]f\left(x\right)=\frac{ax^{2}+bx+c}{ax^{2}+dx+c}[/tex], [tex]b\ne d[/tex], са противоположни числа, то [tex]bd=4ac[/tex].