Най-голяма и най-малка стойност

[Spider Iovkov]

Определете най-голямата и най-малката стойност на функцията:
а) [tex]f(x)=sin^3x+cos^3x[/tex];
б) [tex]f(x)=sin^4x+cos^4x[/tex];
в) [tex]f(x)=sin^5x+cos^5x[/tex];
г) [tex]f(x)=sin^{2n+1}x+cos^{2n+1}x[/tex].

[Реклама]

[Mastinka90]

а) разлагаме на (sinx+cosx)(sin²x -sinx.cosx+cos²x)=(sinx+cosx)(1-sinx.cosx)
За да може изразът да има НГС=>всеки един от изразите в скобите трябва да придобива своята НГС.За втората скоба имаме умножение и разлика (така е най-лесно)и изследваме тъй като двете функции са с еднакви ДС:

1.при sinx=-1,cosx=0,произведението е=0 и във вторите скоби става 1-0=1,а в първите -1+0=-1
2.при sinx=1, cosx=0,произведението е=0 и във вторите скоби става 1-0=1,а в първите 1-0=1
3.sinx=0,cosx=1,произведението е=0 и във вторите скоби става 1-0=1,а в първите 1+0=1
4.sinx=0,cosx=-1,произведенито е 0 и във вторите скоби става 1-0=0,а в първите 0-1=-1
Следователно,поглеждайки трите случая НГС се придобива при 1.1=1,а НМС е -1.1=-1,

Случаите горе са такива от основното тригонометрично тъждество

[martosss]

Търси си максимумът, който МОЖЕ да се достигне, а не теоретичен максимум примерно sin³x+cos³, имаш сбор от тригонометрични функции, чийто максимална стойност е 1, тъй като sin³x≤1 и cos³x≤1, то сборът им е ≤2. Това е теоретична стойност, на практика дори е по-малко, защото не е възможно и двете функции да са едновременно равни на 1. Така че Максимумът и минимумът са в интервала [-2; 2] сега въпроса е къде точно са...

[Mastinka90]

б)(sin²x)² + (cos²x)²+ 2sin²x.cos²x-2sin²x.cos²x=(sin²x+cos²x)²-2(sinx.cosx)²=1-2(sinx.cosx)²
този път всичко зависи от умалителя,който е на квадрат=>при sinx=±1,cosx=0 и обратно
Следователно произведението на квадрат на двете функции винаги ще е равно на 0
и се получава 1-2.0=1

[Mastinka90]

Съгласна съм,че не е вярно и си намерих грешката,а тя е,че задавам едни стойности за първата скоба,които трябва уж да са максимални и наново изследвам втората ,вместо направо да заместя с вече намерени стойности..Смисъл,чеее трябва да се изследват едновременно,а аз едно по едно ги изследвам-сега ще го оправя..

[martosss]

[Mastinka90]

Да,именно,но вече го бях написала като се усетих..Все едно разглеждам функции с различни аргументи.. Доста глупаво Сега май е по-добре

[martosss]

добре, кажи ми, може ли едновременно sinx=1 и cosx=1, ще ми дадеш ли някоя стойност на х, за която и двете са изпълнени?

[Mastinka90]

не,защото няма такава..
Иии очевидно не съм съобразила,че когато едното е 1ца другото няма как да не е 0..и оттам..става кашаа..Много глупаво ги бях объркала,но мисля,че така са добре вече..

[NoThanks]

[tex]sin^3x + cos^3x = (sinx+cosx)(1-sinxcosx)[/tex]
[tex]sinx+cosx = t => sin^2x +2sinxcosx+cos^2x = t^2[/tex]
[tex]1+2sinxcosx = t^2 => sinxcosx = \frac{t^2-1}{2}[/tex]
[tex]=> \frac{t(2-t^2+1)}{2} = \frac{t(3-t^2)}{2}[/tex]
[tex]f'(t) = \frac{1}{2}(t'(3-t^2) -2t^2) = \frac{1}{2}(3-3t^2)[/tex]
[tex]f'(t) = \frac{3}{2}(1-t)(1+t)[/tex]
Сега -1 --> локален минимум, 1---> локален максимум и [tex]t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}][/tex]
[tex]f(-1) = -1; f(1) = 1;[/tex]

[tex]sin^2x + cos^2x = 1 => sin^4x + cos^4x = 1-2sin^2xcos^2x = 1-\frac{sin^22x}{4}[/tex]
[tex]sin^22x \ge 0[/tex] => НМС за [tex]sin2x = 1[/tex] НМС = 3/4; НГС = 1

[tex]sin^5x + cos^5x = (sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x) = 1(1-2sin^2xcos^2x-sin^2xcos^2x) = 1-3sin^2xcos^2x = 1-\frac{3sin^22x}{4}[/tex]
НМС: 1/4 НГС: 1