Нека P=x-y+1 , Q=y-z-1 и R=z-x+1 са 3 многочлена.

[luboslav_p]

Нека P=x-y+1 , Q=y-z-1 и R=z-x+1 са 3 многочлена. Да се докаже, че съществуват многочлени S,T и V с цели коефициенти, за които е изпълнено: S.P³+T.Q³+V.R³=1.

[Реклама]

[Baronov]

Забелязваме, че P+Q+R=1. Повдигаме това равенство на 7-та степен и разкриваме скобите. Във всеки един едночлен поне едното от P, Q и R, ще участва в поне 3-та степен.
Изкарваме пред скоби [tex]P^{3}, Q^{3} , R^{3}[/tex]и това, което остане в скобите го кръщаваме S, T и V.

[Пафнутий]

Това за P+Q+R=1 беше очевидно, но откъде ти дойде да вдигнеш на 7ма степен? Интересно ми е решението на Любо (ако дава да му викам така)

[Baronov]

Честно казано, почти съм сигурен, че решението му е същото. Просто като видиш P+Q+R=1 и не ти остават много неща, които можеш да правиш. Все пак S, T, V са произволни, което ти дава супер голяма свобода. И така.

И на мен би ми било интересно да видя друго решение. Може би нещо с Евклид за полиноми. Да докажем, че полиномите [tex]P^{3}, Q^{3}, R^{3}[/tex] са взаимно прости (това следва директно от P+Q+R=1). И опаа... твърдението следва директно от алгоритъма на Евклид за полиноми.
Явно съм грешал и има друго решение.

[Baronov]

Поради огромния зрителски интерес и огромния брой отрицателни гласове, следва втора част на решението, теоретична.
Алгоритъм на Евклид.
Ще започнем от алгоритъма на евклид за числа. Нека да си вземем две числа a b и нека d=НОД(a, b). Разглеждаме числата от вида ax+by, където x и y са цели числа. По точно, интересува ни кои цели числа са представими в този вид. Очевидно за цели х и у изразът ax+by се дели на d. Вярно е и обратното твърдение. Ако едно число се дели на d, то то е представимо по горния начин. Очевидно(!) това твърдение е еквивалентно на съществуването на цели х и у за които ax+by=d. Също толкова очевидно ( като съкратим на d) е, че може да считаме а и b за взаимно прости. Тоест искаме да докажем, че ако (a, b) = 1 (така се означава нод на много места), то съществуват цели х и у за които ax+by=1. Е те това твърдение е известно като алгоритъм на евклид, лема на Безу и сигурно по още 100 начина и представлява елементарно упражнение по теория на числата. Твърдението може да се обобщи за повече от 2 числа. Нека [tex]d=(a_{1}, a_{2}...a_{n})[/tex], тогава съществуват цели [tex]x_{1}, x_{2}...x_{n}[/tex] такива, че [tex]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+..+a_{n}x_{n}=d[/tex]. Доказателството е с индукция по броя n.
Да разгледаме сега полиномите. Делението на полиноми (с цели коефициенти, разбира се) има (почти) същите свойства като делението на числа. Най-голям общ делител на два полинома е просто техен делител с максимална степен. Всички твърдения от предния параграф остават верни, ако заменим всички участващи числа с полиноми. Тоест за взаимно прости [tex]P_{1}(x),..,.P_{n}(x)[/tex], съществуват полиноми с цели коефициенти, [tex]Q_{1},...,Q_{n}[/tex], за които [tex]P_{1}Q_{1}(x)+..+.P_{n}Q_{n}(x)=1[/tex], за всяко x.
Задачата следва елементарно от това твърдение. Ако допуснем, че [tex]P^{3}, Q^{3}, R^{3}[/tex] не са взаимно прости, ще следва, че те имат общ корен. Но тогава този корен е общ и за P, Q, R, което е противоречие с P+Q+R=1.
Алгоритъма на Евклид е добре познатия алгоритъм за намиране на НОД. Той се основава на очевидното (а, б)=(а, а-б) (тук в случая на полиноми (а, б)=(а, а-кб), където к е константа). Просто от по голямото число вадим по-малкото, докато получим 0. Последното ненулево е търсения НОД. Опитайте се да докажете лемата на Безу за полиними с помощта на алгоритъма на евклид.
Не вярвайте на програмистите, като ви кажат, че Евклид използва, че (а, б) = (а, а%б). Това с разликите доста често е по-полезно в математиката.

[luboslav_p]

Единственото решение, което знаех е това с повдигането на седма степен (което впрочем ме разби, когато го видях). Готина задача и страхотно решение. А това с Евклид също звучи интересно.

[Baronov]

Между другото онова, което написах горе за Евклид е само за полиноми на една променлива.
С една дума написал съм пълните глупости, които нямат отношение към задачата.