Задача за отличници

[Relinquishmentor]

Пресметнете границата:

[tex]\lim_{n} \sum_{\nu = 1}^{n}\left( \sqrt[k+1]{1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}} - 1 \right) \qquad k\in \mathbb N[/tex]

[Реклама]

[d/dx]

Забелязваме, че

[tex]\left({1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{1}{k+1}} - 1=\frac{\nu^k}{n^{k+1}}\left[\left({1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1\right]^{-1}.[/tex] (1)

Тъй като [tex]1\le\nu\le n[/tex], то

[tex]\frac{1}{n^{k+1}}\le \frac{\nu^k}{n^{k+1}}\le \frac{1}{n}.[/tex]

Тогава за сумата под степента в дясната страна на (1) имаме

[tex]\left({1 + \frac{1}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{1}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1\le \left({1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1 \le \left({1 + \frac{1}{n}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{1}{n}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1.[/tex] (2)

Тъй като

[tex]\left({1 + \frac{1}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{1}{n^{k+1}}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1=\frac{1}{n^{k+1}}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{n^{k+1}}}-1\right)^{-1}[/tex]

и

[tex]\left({1 + \frac{1}{n}}\right)^{\frac{k}{k+1}}+\left({1 + \frac{1}{n}}\right)^{\frac{k-1}{k+1}}+\ldots+1=\frac{1}{n}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{n}}-1\right)^{-1}[/tex]

Отчитайки последните две равенства и неравенствата (2), заместваме в (1) и сумираме по [tex]\nu[/tex]. Получаваме

[tex]n\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{n}}-1\right)\sum_{\nu = 1}^{n}\frac{\nu^k}{n^{k+1}}\le\sum_{\nu = 1}^{n}\left( \sqrt[k+1]{1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}} - 1 \right)\le n^{k+1}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{n^{k+1}}}-1\right)\sum_{\nu = 1}^{n}\frac{\nu^k}{n^{k+1}}[/tex]

Като извършим граничен преход в последните неравенства при [tex]n\to\infty[/tex] виждаме, че

[tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{\nu = 1}^{n}\left( \sqrt[k+1]{1 + \frac{\nu^k}{n^{k+1}}} - 1 \right)=\frac{1}{(k+1)^2}[/tex]