Регистрирайте сеРегистрирайте се

Без деление кажете колко е остатъка 19062317 : 99


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 7:20 pm    Заглавие: Без деление кажете колко е остатъка 19062317 : 99

Автора на тази задача не съм аз. Доколкото ми е известно, казва се Камен. Преди време, беше публикувана (и решена) като развлекателна задача в друг форум.

copy/paste
Можете ли наум, без да използвате деление, да кажете колко е остатъка от делението на 19062317 на 99
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:18 pm    Заглавие:

Да Wink Достатъчно е да се знаят признаците за деление на 11 и 9 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:28 pm    Заглавие:

Ти хубаво ми намигаш, ама аз не ги знам признаците за деление на 9 и 11. Което не ми пречи да кажа какъв е търсения остатък.
А и в задачата не се пита "дали числото се дели на 99", а "колко е остатъка при деление на 99"

Да добавя, че простото умножение на остатък при делене на 9 и остатък при делене 11 не ни дава верен отговор.
Защо ? - вземи за пример остатъка при "23 делено на 12" и съответно "23 делено на 3" и "23 делено на 4"


Последната промяна е направена от dgs на Thu Oct 16, 2008 8:36 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:35 pm    Заглавие:

dgs написа:
Ти хубаво ми намигаш, ама аз не ги знам признаците за деление на 9 и 11. Което не ми пречи да кажа какъв е търсения остатък.
А и в задачата не се пита "дали числото се дели на 99", а "колко е остатъка при деление на 99"
Признакът за делимост на 9 е "Едно число се дели на 9, то сборът от цифрите му се дели на 9" , но той се обобщава до "Едно число дава такъв остатък при деление с 9 какъвто дава и сборът на цифрите му". За 11 само ще кажа признака- "Едно число се дели на 11, ако разликата между сбора на числата, стоящи на четни позиции и числата, стоящи на нечетни позиции е число кратно на 11". Обобщава се по същия начин Mr. Green Сега вече доволен ли си ?
ПП По тоз начин намирам най-близкото число, делящо се на 99 и нататък е ясно Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:37 pm    Заглавие:

Това е ясно, но какво следва за остатъка?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:39 pm    Заглавие:

Извинявай, редактирах малко моя предишен пост без да забележа, че вече си писал след мен.

Това обаче не ми пречи да кажа:
Не, не съм доволен. Ще бъда доволен, когато смятайки наум ми кажеш остатъка.

Твърдиш, че това можеш да го правиш наум за осемцифрени числа, така ли ?
По тоз начин намирам най-близкото число, делящо се на 99
Не вярвам !


Последната промяна е направена от dgs на Thu Oct 16, 2008 8:45 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 8:42 pm    Заглавие:

Кой е казал, че не смятам наум? Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad Не мога да сметна сбора от цифрите ли? Друг е въпросът, че мога НАУМ да го разделя и по обикновения начин. Предполагам, че имаш твой начин, който се различава от моя, но недей да отхвърляш всички други предложения Twisted Evil Twisted Evil
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:00 pm    Заглавие:

Извинявай, не искам да те разстройвам.

Нека приемем, че повечето хора (и аз включително) сме по-глупави от теб и не сме в състояние да извършваме такива сложни сметки наум с осемцифрени числа – "намиране на най-близкото число делящо се на 99".
И понеже сме и по-мързеливи, правим нещо друго за целта. (Мързеливи сме, ама маалко сме се понапънали и сме измислили някакъв простичък алгоритъм за намиране на остатъка наум)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:03 pm    Заглавие:

Напълно съм съгласен, че има някакъв по-простичък метод Smile В това спор няма.Просто не ми дойде на акъла нищо друго Embarassed
ПП Ако докажа метод за деление на 99=100-1 ще се зачита ли за решение? Знам, че никак няма да е красиво решението Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:10 pm    Заглавие:

Ами не знам, пробвай.

Между другото, вече мога
"много бързо наум да намеря най-близките две(*) числа делящи се на 99".
Предполагам, сещаш се как го правя Laughing - първо намирам набързо остатъка, а после и числата

(*) "най-близките две числа" - най-близкото по-малко и най-близкото по-голямо


Последната промяна е направена от dgs на Thu Oct 16, 2008 9:24 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:19 pm    Заглавие:

Като се замисля доказването на признака няма да е толкова лесно Laughing И все пак не може ли по-лесно да намерим остатъка като разделим на [tex]100[/tex] на частно с остатък (100q+r) (това на ум всеки трябва да го може) и понеже [tex]100=99+1[/tex], после да пресметнем [tex]q+r[/tex] (това става също наум) и вече остатъка на [tex]q+r[/tex] при деление с 99 съвпада с търсения (понеже е само 8 цифрено числото, то и това трябва да стане на ум, ако не- повтаряме процедурата, докъде достигнем до достатъчно лесно число) Wink
Пример: Имаме числото [tex]N[/tex].
Представяме [tex]N=100q+r[/tex]
Тогава [tex]N\equiv q+r(mod 99)[/tex] (т.е [tex]N[/tex] дава същия остатък като [tex]q+r[/tex] при деление на 99)
Сега задачата:
[tex]19062317 =190623.100+17[/tex]
[tex]190 640\equiv x(mod 99)[/tex]
[tex]190 640 =1 906.100+ 40[/tex]
[tex]1946\equiv x(mod99)[/tex]
[tex] 1946=19.100+46[/tex]
[tex]46+19\equiv x(mod 99)\Rightarrow x=65[/tex]

ПП Прав беше, че трябва малко да се понапъна Wink


Последната промяна е направена от Пафнутий на Thu Oct 16, 2008 9:38 pm; мнението е било променяно общо 6 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:25 pm    Заглавие:

След като намерих бърз алгоритъм, който решава задачата би ли казал твоя? Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:33 pm    Заглавие:

Бърз ли ?
Хмм, ... така като гледам q е шестцифрено (ако N е осемцифрено).
Което все пак е добра новина, дотук смъкна цели два разряда. А нататък ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:34 pm    Заглавие:

Виж горе!!! Wink Едитнах го Wink Помислих, че ще се досетиш, че това можем да го повтаряме, докато достигнем до нещо "приятно" Twisted Evil

Последната промяна е направена от Пафнутий на Thu Oct 16, 2008 9:51 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:36 pm    Заглавие:

Едитни го пак, че имаш грешки (правописни). Провери и с калкулатор ако не вярваш за грешките
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:39 pm    Заглавие:

Готово Laughing Сега би ли казал твоя? Точно 65 е Twisted Evil

Последната промяна е направена от Пафнутий на Thu Oct 16, 2008 9:45 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
b1ck0
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2006
Мнения: 301
Местожителство: Варна
Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:40 pm    Заглавие:

Колко е остатъка ... аз мисля че е 20 ... ?

Edit: Не мога даже да събирам ....

[tex]N = 19062317 [/tex]

[tex]N_1 = 190623 + 17 = 190640 [/tex]

[tex]N_2 = 1906 + 40 = 1946 [/tex]

[tex]N_3 = 19 + 46 = 65 [/tex] ....


Последната промяна е направена от b1ck0 на Thu Oct 16, 2008 10:01 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
evgeni91
Редовен


Регистриран на: 01 May 2008
Мнения: 104
Местожителство: Видин
Репутация: 13.2
гласове: 3

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:48 pm    Заглавие: Re: Без деление кажете колко е остатъка 19062317 : 99

dgs написа:
Автора на тази задача не съм аз. Доколкото ми е известно, казва се Камен. Преди време, беше публикувана (и решена) като развлекателна задача в друг форум.

copy/paste
Можете ли наум, без да използвате деление, да кажете колко е остатъка от делението на 19062317 на 99


идеята ми е следната: вместо на 99 делим на 100.. 100=(99+1)
нека abcd:100=ab+cd.. където a,b,c и d са цифрите в числото abcd. Тогава разликата трябва да е равна на ab+cd.. /100=(99+1)/
ако ab+cd>99 тогава продължаваме с делението, докато неравенството не стане грешно.
и вече описанието:
19062317:100=190623+17(=190640)
190640:100=1906+40
1946:100=19+46=65.. което е и остатъка

проверка: най близкото число a.99, a_цяло е 19 062 252
мдаа.. изпреварили са ме.. ще запомниш решението, ако не друго//защо не може да се трие?! Arrow


Последната промяна е направена от evgeni91 на Thu Oct 16, 2008 9:55 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:49 pm    Заглавие:

Чудесен алгоритъм. Лошото е, че някои числа все още са големи.
Ти самия сбърка вече когато го писа, а пък наум ще се сбърка още по-лесно.
Ако се понапънеш още съвсем малко, ще стигнеш до нещо още по-просто. Няма да го казвам (засега), за да не ти разваля кефа да си го откриеш сам.

Няколко човека сме писали едновременно.


Последната промяна е направена от dgs на Thu Oct 16, 2008 10:00 pm; мнението е било променяно общо 4 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 9:50 pm    Заглавие: Re: Без деление кажете колко е остатъка 19062317 : 99

evgeni91 написа:
dgs написа:
Автора на тази задача не съм аз. Доколкото ми е известно, казва се Камен. Преди време, беше публикувана (и решена) като развлекателна задача в друг форум.

copy/paste
Можете ли наум, без да използвате деление, да кажете колко е остатъка от делението на 19062317 на 99


идеята ми е следната: вместо на 99 делим на 100.. 100=(99+1)
нека abcd:100=ab+cd.. където a,b,c и d са цифрите в числото abcd. Тогава разликата трябва да е равна на ab+cd.. /100=(99+1)/
ако ab+cd>99 тогава продължаваме с делението, докато неравенството не стане грешно.
и вече описанието:
19062317:100=190623+17(=190640)
190640:100=1906+40
1946:100=19+46=65.. което е и остатъка

проверка: най близкото число a.99, a_цяло е 19 062 252
не обяснявам хубаво, но дано да си ме разбрал..
btw става и на ум Wink
Изпреварих те с малко Laughing Хубаво е, че мислим по един и същи начин Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 10:00 pm    Заглавие:

b1ck0,
можеш ли да се обосновеш защо това което си написал като сметки е вярно в общия случай за произволно N ?

До останалите пишещи в момента:
Не знам дали забелязвате, има малка но съществена разлика при b1ck0 - той на практика сумира само двуцифрени числа !
Което лесно се прави и наум !

Редакция:
b1ck0,
Май съм се объркал нещо в тоя мой пост - като че ли и при теб не са съвсем двуцифрени в общия случай. Сега на второ четене, виждам, че при теб е същото като при stanislav atanasov
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Oct 16, 2008 10:47 pm    Заглавие:

Обърках някои неща в предишния ми пост. Затова ще публикувам решението, такова каквото вече е публикувано в другия форум. При това решение, добре се вижда алгоритъма при който има събиране само на двуцифрени числа и евентуално накрая едно деление при общия случай.


copy/paste
Цитат:

N = dm.100m + dm-1.100m-1 + ... + d1.1001 + d0.1000

където 100 > di, i=0...n

т.е. dm, dm-1 ... d0 са най-много двуцифрени числа

Всъщност всяко от тези di представлява две поредни цифри от десетичния запис на N ("двуцифрената разбивка" на N) като евентуално първата от тези две цифри е 0, ако di е едноцифрено

Като заместим
100 = (99 + 1)
и разкрием скобите, получаваме

N = 99.(нещо си) + (dm + dm-1 + ... + d1 + d0)

И сега остава да намерим наум
D = dm + dm-1 + ... + d1 + d0

и остатъка на D при делене на 99
...
А как ще сметнем остатъка наум за 95 или 96, забелязахте ли ?


в конкретния случай за числото 19062317, за да намерим остатъка при делене на 99
трябва да съберем наум 19+06+23+17=65
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Oct 18, 2008 1:15 pm    Заглавие:

По горната идея можем да съставим следния признак за делимост.
Едно естествено число [tex]S[/tex] се дели на [tex]\underbrace{999...99}_{n}[/tex], ако след като го разделим на [tex]N[/tex]-торки, сборът на тези [tex]N[/tex]-торки е число, делящо се на
[tex]\underbrace{999...99}_{n}[/tex]
Доказателство: Всяко естествено число може да се представи във вида [tex]S=\sum_{i=1}^s 10^{n^i}.d_{i}=\underbrace{999...99}_{n}A+\sum_{i=1}^s d_{i}[/tex] , където [tex]d_{i}[/tex] e най-много [tex]n[/tex]-цифрено. QED
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.