lim

[ганка симеонова]

[tex]lim_{x->\pi }\frac{x^2-\pi ^2}{ sinx} [/tex]

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[tex]\lim_{x\to\pi }\frac{x^2-\pi ^2}{ sin x} = \lim_{y\to\0 } \, \frac{y(y+2\pi )}{sin (y+\pi )} = - \lim_{y\to\0 } \frac{y+2\pi }{\frac{sin y}{y} } = - 2\pi [/tex]

[estoyanovvd]

Ако се не лъжа, такива задачи има в учебника за дванадесети клас. Сега какво, ще се изпитваме ли?!?!

[ганка симеонова]

Дааа, идеята ми беше да се реши с 12 клас, без полагане..
Нека някой 12- класник я реши, моля ..

[Relinquishmentor]

Хм, теоремата за смяна на променливата при границите не присъства ли в материала за 12 клас ? Ако е така ще е жалко, защото с нейна помощ може да се разреши почти всяка граница (на функция).

[NoThanks]

[tex] lim_{x\right\pi}\;\; \frac{(x-\pi)(x+\pi)}{sinx} = lim_{x\right\pi}\;\; \frac{(x-\pi)(x+\pi)}{sin(\pi-x)}[/tex]
[tex]lim_{x\right\pi}\;\;\frac{x-\pi}{sin(\pi-x)} = -1[/tex]
=> горната граница е
[tex]-1(\pi+\pi) = -2\pi[/tex]
А това със смяната на променливата го има в учебника на Регалия и се учи

[ганка симеонова]

[Relinquishmentor]

Че това пак е със смяна (съвсем същата), защото оригиналната граница е [tex]\lim_{x\to\0}\frac{sin x}{x}[/tex] , тоест променливата клони към нула, а не към пи. Можем да разсъждаваме и по следния начин, но в него няма да има нищо различно:

[tex]0<1 -\frac{sin x}{x} <\frac{x^2}{2}[/tex]

за всяко реално x (без нула). Оттук разбира се това ще следва и за числата от вида [tex]\pi -x[/tex] и следователно ще имаме:

[tex]0<1 - \frac{sin (x - \pi )}{(x - \pi )} <\frac{(x - \pi )^2}{2}[/tex] , откъдето при x клони към [tex]\pi[/tex] ползваме лемата на милиционерите (ако е разрешена).

[estoyanovvd]

Във всички учебници се учи теоремата за смяна на променливите! Това е теоремата за граница на функция от функция.

[jeo]

Лопитал му е майката, без да са мисли излиза.