1 задача за 8 клас

[пламен_22]

Даден е триъгълник ABC.BC е продължена до т.N,като BC=CN.AB e продължена до т.M,като AB=BM.CA е продължена до т.P,като CA=AP.Знаем,че триъгълник MNP е равностранен.Да се докаже,че триъгълник ABC е равностранен.
Аз съм 8 клас за това че ви моля за обяснение в рамките на моите знания.Помощ

[Реклама]

[Mastinka90]

Мисля,че има и друг начин..Значи знаем,че около всеки триъгълник може да се опише окръжност.Опиши окръжност около РМN и значеш,че ъгъл РМN=60(равностранен)и гледаш дъгата PN..оттук много лесно се доказва,че ъгъл NCP=120 и тъй като NCB-изправен ъгъл,значи АСВ е 60.И по подобен начин и за останалите ъгли.Ако имам грешка-поправете ме.. ,защото пак изглежда твърде лесно
Сещам се и за още един начин,ама мисля,че за 8клас няма да ти го приемат

[martosss]

Чакай сега, за да може ъгъл NCP да е 120 той трябва да е център на тази оп. окр. или да вижда NP под същия ъгъл както центъра, тоест POCN трябва да е вписан четириъгълник, , което не виждам откъде идва

Това с центъра го изключвам, защото тогава А, В и С трябва да са едновременно центрове на оп. около MNP окр. остава вариантът тези четириъгълници POCN, NAOM, POBM да са вписани, което не виждам от къде следва, иначе ще се реши

... или една от точките да е център и другите 2 четириъгълника да са вписани... схващаш идеята надявам се

[Mastinka90]

е,хубаво да допуснем,че си прав,но проста проверка:
да речем,че този ъгъл не е 120 и докажеш по друг начин,че АБС е равностранен,тогава..NCP колко излиза,ако не 120?

[NoThanks]

[martosss]

[alf2003]

ЗДРАВЕЙТЕ!

Ето Ви чертежа, който би трябвало на може да направи всеки осмокласник.
Старал съм се да си мисля, че съм в 8. клас. Правил разсъждения и построения като за такъв.
Убеден съм, че всеки може да разпише доказателството.

[eliza]

и с материал за осми клас откъде точно излиза че [tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex]

[estoyanovvd]

[eliza]

видях го и все още не разбирам.. xD

[alf2003]

Обяснявам разсъжденията, но няма да Ви пиша решението, щото ми се ще да не Ви отнемам удоволствието от "тръпката" да решите сами "трудната" задача. (В същност тя не е от лесните.)

Доказателството се базира на твърдението (теоремата следствие), че "Ако два от ъглите в един [tex]\Delta[/tex] са равни на 60[tex]^\circ [/tex], той е равностранен".

По условие знаем, че [tex]\Delta[/tex]PMN е равностранен, т.е. има равни ъгли, като всеки е по 60[tex]^\circ [/tex].
Без каквото и да е угризение на съвестта си построяваме описаната около този [tex]\Delta[/tex] окръжност. Разглеждаме [tex]\Delta[/tex]PCN. За него не знаем нищо друго, освен че е тъпоъгълен. Понеже ще търсим мярки на ъгли, нека означим с [tex]\alpha [/tex] и [tex]\beta [/tex] ъгловите мярки на острите му ъгли.
От тук веднага можем да пресметнем каква е ъгловата мярка на външния за този [tex]\Delta[/tex] ъгъл NCE.
Тя е точно равна на [tex]\alpha [/tex] + [tex]\beta [/tex] ъглови градуса!
Връхният на този ъгъл е [tex]\angle[/tex]ACB, чиято мярка трябва да намерим.
Означаваме ъгловата мярка на [tex]\angle[/tex]DNM с [tex]\gamma[/tex] и се заглеждаме (като в гадже) в [tex]\angle[/tex]PNM.
За него можем да напишем: [tex]\angle[/tex]PNM = [tex]\alpha [/tex] + [tex]\gamma[/tex] = 60[tex]^\circ [/tex].
В същото време [tex]\angle[/tex]NDM = [tex]\angle[/tex]PEM = 60[tex]^\circ [/tex]. (Считам за излишно да обяснявам защо.) Следователно четириъгълникът DMEC е успоредник!
Това означава, че хордите DN и EM са части от успоредни прави => [tex]\angle[/tex]NME = [tex]\gamma[/tex]!
Но ъгловите мярки на [tex]\gamma[/tex] и [tex]\beta [/tex] са равни, защото се измерват с половинката на една и съща дъга NE, т.е. [tex]\gamma[/tex] = [tex]\beta [/tex].
Това последното ни дава основание да напишем:
[tex]\alpha [/tex] + [tex]\gamma[/tex] = [tex]\alpha [/tex] + [tex]\beta [/tex] = 60[tex]^\circ [/tex].

Ето, че намерихме големината (градусната мярка) на един от ъглите в [tex]\Delta[/tex]ABC. Аналогично се намира големината на още един от ъглите на този триъгълник, с което задачата е решена.

[estoyanovvd]

Изящен стил на обяснение! Само, че и на мен не ми е ясно защо DMEC трябва да е успоредник? Само от два равни срещулежащи ъгъла ли? Кога я измислиха тази теорема???

[alf2003]

[estoyanovvd]

[alf2003]

О.К. estoyanovvd!
Абсолютно правилно е твърдението ти. Да видим дали пък следните ми разсъждения не са верни.

По условие AB=BM. От точката B да издигнем перпендикуляр към BM. Той пресича описаната окръжност в т. Е.
Да разгледаме [tex]\Delta[/tex]AME. Той няма как да не е равнобедрен, нали?
[tex]\angle[/tex] Е в този [tex]\Delta[/tex] е 60 [tex]^\circ [/tex], но всеки равнобедрен [tex]\Delta [/tex] с ъгъл 60 [tex]^\circ [/tex] е равностранен!
=> [tex]\angle [/tex]CAB = 60 [tex]^\circ [/tex].

[estoyanovvd]

Готин, сега видях поста ти и с прискърбие ти съобщавам, че отново грешиш! Така получената точка Е не е онази от чертежа ти! И въобще не е ясно Р, А, С и Е дали ще лежат на една права, а от там и че ъгълът е 60 градуса!!! Мисли друго решение!!! Успех!!!

[mousehack]

Имам един въпрос:
Ако продължим ВА до т.К,така че КА=АВ.
Ако продължим СВ до т.Q,така че CB=BQ.
Ако продължим АС до т.L,така че AC=CL.
Следва ли от условието,че ▲KQL е равнобедрен.Защото ако е така,то тогава реших задачата.

[mousehack]

Ще ми отговори ли някои на въпроса,защото наистина я мислех дълго време тази задача.Мерси.

[estoyanovvd]

Деца, стига сте се мъчили с тази лесна задачка!!! Достатъчно е да построите [tex]BQ[/tex] успоредна на [tex]AC[/tex] и да продължите [tex]AC[/tex] докато пресече [tex]MN[/tex] в точка [tex]L[/tex]. Сега да означим [tex]MN=3a[/tex]. Тогава [tex]LN=a[/tex] и аналогично [tex]PT=KM=a[/tex]. Така получаваме, че триъгълниците [tex]KMN, LNP, PTM[/tex] са еднакви, а от тяхната еднаквост следва и еднаквостта на триъгълниците [tex]KMB, LNC, TPA[/tex]. Сега вече страните на [tex]ABC[/tex] са равни, защото се получават като от равни отсечки извадим други равни отсечки!!!