задачка-закачка

[Mastinka90]

cos²x + cos(x/2) .cos²x-cos(x/2) -1=2(sin(x/4)-cosx)²

[Реклама]

[ганка симеонова]

Тази задачка- закачка наистина е хубава
Ще разложим лявата страна на множители, като групираме 1-во с 4-то и 2-ро с 3-то.Получаваме:
[tex](cos^2x-1)(1+cos{\frac{x}{ 2}} )= -sin^2x. 2cos^2 {\frac{x}{ 4}} [/tex]. Тогава уравнението добива вида
[tex]-(sinx. cos{\frac{x}{ 4}} )^2=(sin{\frac{x}{4 }}-cosx)^2 [/tex]
Това равенство е вярно, само ако има стойности на аргумента, за които и двете стани са едновременно 0.

1)Нека [tex]cos{\frac{x}{4} }=0=>x=2\pi +4k\pi [/tex]. Тогава изразът в десните скоби ще има вида
[tex]sin(\frac{\pi }{ 2}+k\pi )-cos( 2\pi +4k\pi ) [/tex]
При четни к получаваме [tex]1-1=0 [/tex]. При нечетни к получаваме [tex]-1-1=-2 [/tex]
Следователно к трябва да е четно и тогава решението ще е [tex]x=2\pi +8l\pi [/tex]

2) [tex]sinx=0=>x=k\pi [/tex]. Пак заместваме с полученото в дясно. Тогава:[tex]sin{\frac{k\pi }{ 4}}-cosk\pi [/tex] Този израз е 0, само когато [tex]k=2; 10; 18; 26;.. [/tex]
=>[tex]k=8m-6 =>x=(8m-6)\pi [/tex]

[Mastinka90]

лявата я разложих и заради този sin(x/4) започнах да преобразувам така,че да получа само аргументи x/4,но степените станаха мн високи истана оплетено..
Това решение е по-добро!

[ганка симеонова]

Честно казано, аз май не виждам друго