Една индукцийка с факториелче:)

[google]

мнооого тъп въпрос НО само за вас можещи таааа имам проблем със следната индукция:

докажете чрез индукция: n! > 2ⁿ [n! = 1.2.3. ... .(n-1).n]

ПП намирам че е изпълнено при начало n=4, приемам, че n! > 2ⁿ и допускам че (n+1)! > 2ⁿ⁺¹, което следва да докажа, но ми се опъва

предварително благодаря!!

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Допускаме, че е вярно:

[tex]2.2^n < 2n![/tex]
[tex]2n! < (n+1)! = (n+1).n! | : n![/tex]
[tex]n > 1[/tex]

ок

[NoThanks]

Твърдението е изпълнено само за n>3
Нека за n=k имаме
[tex]1.2.3.4..... k > 2^k[/tex]
Тогава за n=k+1 имаме:
(?)[tex]1.2.3.4...k.(k+1) > 2^k*2[/tex]
Знаем, че [tex]1.2.3....k >2^k[/tex]
Откъдето задачата ни се свежда до това да покажем, че
k+1>2 , t.e k>1 , но k = n-1, a n>3 => k>2 => готово

[google]

[tex]2.2^n < 2n![/tex]
[tex]2n! < (n+1)! = (n+1).n! | : n![/tex]
[tex]n > 1[/tex]

не те разбирам значи това което виждам е, че умножаваш 2те страни на неравенството с 2 откъдето получаваш

[tex]2.2^n < 2n![/tex]

след това ми става ясно,че заместваш 2^n със n! но как преобразуваш 2n! във (n+1)! ??

[gdimkov]

За n=4 имаме [tex]4!=24,\,2^4=16[/tex]. Неравенството е изпълнено. Да допуснем, че то е вярно за няко е [tex]n>4[/tex]. Ще проверим какво ще стане, когато увeличим това "n" с единица.
[tex](n+1)!=(n+1).n!>(n+1).2^n>(1+1).2^n=2^{n+1}[/tex].

[google]

хора сам стигнах до едно решение искам да ми кажете моля дали е вярно

и така: имаме n>3 или по друг начин записано n≥4

та: приемаме, че неравенството е вярно във вида: n! > 2^n

тогава предполагаме че за следващия член, а именно n+1 трябва да има вида: (n+1)! > 2^n+1

и остава само да го докажем

(n+1)! = n!.(n+1)
n!.(n+1) > 2^n.2
но имаме от горе че n!>2^n => 2^n.(n+1) > 2^n.2 НО (n+1) ≥ 5 по условие т.е. твърдението 2^n.(n+1) > 2^n.2 e вярно НО n!>2^n => също е вярно с което доказваме най-горното твърдение

правилно??