Прости числа

[Пафнутий]

Да се намерят всички различни прости [tex]p,q,r,s[/tex], чийто сбор също е просто число, а пък [tex]p^2+qr[/tex] и [tex]p^2+qs[/tex] са точни квадрати на естествени числа.
(Окръжен кръг на Всерусийската олимпиада, 10 клас, 1993-1994г.)
(Р.Женодаров)

[Реклама]

[JusTok]

p+q+r+s - просто => едно от тези числа е 2.
Нека p²+qs=k² и p²+qr=x².
qs=(k-p)(k+p), ако лявата страна се дели на 2 тогава дясната се дели на 4, което е невъзможно, тогава q,s≠2 аналогично r≠2 => p=2.
тогава имаме qs=(k-2)(k+2) и qr=(x-2)(x+2), от това че числата са различни имаме q=k-2 и q=x+2 или q=k+2 и q=x-2, тука и в 2та случая се получават числа от вида, k-2, k+2, k-6 и трите са нечетни => поне едното се дели на 3, => най малкото от числата е 3 => q=7,p=2,r=3,s=11 или q=7,p=2,r=11,s=3

[Пафнутий]

И аз така решавам задачата Решението ти е вярно

[blqaa]

И все пак ,ако имате някакви съмнения - решението ви е абсолютно вярно. И аз така решавам задачата.

[astateoftrance]

[Пафнутий]

Понеже [tex]q,r,s\ge 2[/tex] са прости и различни, то се разглеждат случаите:
[tex]q=k-2[/tex] и [tex]q=x+2[/tex] или [tex]q=k+2[/tex] и [tex]q=x-2[/tex] , защото в противен случай ще имаме, че [tex]x=k[/tex], което противоречи с различността на простите и като си решиш системата получаваш, че простите [tex]q,r,s[/tex] са в аритметична прогресия с разлика 2 и оттам едно от 3те се дели на 3, а пък единственото просто, делящо се на 3 е 3 и нататък май е ясно

[astateoftrance]

Сега е ясно, благодаря! Само че разликата на прогресията не е ли 4?

[Пафнутий]

Да, прав си 4 е