Лесна задачка

Пафнутий

Да сe докаже, че уравнението [tex]x^3+y^3=4(x^2y+xy^2+1)[/tex] няма решение цели числа.
(Окръжен етап на Всерусийска олимпиада , 9 клас, 1992г-1993г)
(А.Калинин)

Реклама

Pinetop Smith · Пуснато на: Sat Oct 11, 2008 10:25 am Заглавие:

[tex]x^3 + y^3 - 4(x^2y + xy^2) = 4[/tex]

[tex](x+y)(x^2-xy+y^2) - (x+y)(4xy) = 4[/tex]
[tex](x+y)(x^2-5xy+y^2) = 4[/tex]

Получаваме няколко системи

[tex]x+y = a[/tex]
[tex]x^2-5xy+y^2 = b[/tex]

където а и b са цели числа с произв. 4. Имаме

[tex]x^2+2xy+y^2 = a^2[/tex]
[tex]x^2-5xy+y^2 = b[/tex]

Изваждаме второто от първото:

[tex]7xy = a^2-b[/tex]

Директно се проверява, че всички възможни стойности на [tex]a^2-b[/tex] са -3, 2, 5, 6, 15, 17, никое от които не се дели на 7.

Saposto_MM · Пуснато на: Sat Oct 11, 2008 10:31 am Заглавие:

Нека [tex]x+y=m[/tex]. Тогава уравнението е еквивалентно на [tex]x^{3}+\left(m-x\right)^3=4\left(x^{2}\left(m-x\right)+x\left(m-x\right)^{2}\right)[/tex]. Решаваме последното като квадратно относно x и получаваме [tex]x_{1,2}=\frac{7m^2\pm \sqrt{21m^{4}+16m}}{14m}[/tex]. За да има цели корени трябва [tex]k|7m^{2}\pm \sqrt{21m^{4}+16m}[/tex], откъдето [tex]m|\sqrt{21m^{4}+16m}[/tex], откъдето [tex]m^{2}|21m^{4}+16m[/tex]. Оттук [tex]m|16[/tex]. Следователно трябва да проверим за k стойностите [tex]-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16[/tex].

Пафнутий · Пуснато на: Sat Oct 11, 2008 10:36 am Заглавие:

Ники, Стояне- много добри решения.Браво!!!Моето решение е различно и после видях, че такова е и авторското Wink

Уравнението е еквавалентно на [tex](x+y)^3-7(x^2y+xy^2)=4[/tex] , т.е [tex](x+y)^3\equiv 4 (mod 7)[/tex] -невъзможно Wink

dim · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 3:24 pm Заглавие:

Pinetop Smith · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 5:09 pm Заглавие:

Ами (7х+а)³ - очевидно всички едночлени, в които участва х, се делят на 7, тъй че е достатъчно да проверим а³ - за това кратък начин обаче не знам Rolling Eyes

dim · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 5:49 pm Заглавие:

Е да, то по същество точно това правя.За тоя случаи няма проблем да разгледаме какво става за a=1,2,..,6. Проблем става примерно ако делиш на голямо n и разглеждаш случаите за a=1,2,...,n-1. Просто си мислех, че може да се обясни по-формално със свойствата и действията на [tex]mod[/tex]. Благодаря все пак. Smile

JusTok · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 6:11 pm Заглавие:

(x+y)³-4=7(x²y+y²x)=> (x+y)³-4≡0(mod 7) => (x+y)³≡4(mod 7)..

Пафнутий · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 6:59 pm Заглавие:

Май искаше да разбереш защо [tex]y^3\equiv 4(mod7)[/tex] няма решение в цели числа? Става с директна проверка с остатъците по модул 7, но понеже [tex]-1\equiv 6, -2\equiv 5 , -3 \equiv 4[/tex] може да провериш за [tex]1,2,3[/tex] - другите ще са същите с обратен знак Wink

Проверката става така от [tex]7k+e\equiv e(mod7)\Rightarrow (7k+e)^3\equiv e^3 (mod7 )[/tex]

dim · Пуснато на: Thu Oct 16, 2008 7:46 pm Заглавие:

Пафнутий · Пуснато на: Thu Nov 20, 2008 7:48 am Заглавие:

Всъщност може да се използва, че [tex]x^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm1,0 (mod p)[/tex], където [tex]p[/tex] е просто.Директно следствие е от малката теорема на Ферма и от следната лема:
Ако [tex]x^2\equiv 1(modp)[/tex] за просто [tex]p[/tex], то [tex]x\equiv \pm 1(mod p)[/tex]