Задача от учебника за 12 клас..

[polymath]

Понеже аз не успях да я реша, моля за малко съдействие
Стълба се опира с единия си край на улица, а с другия - на стената на къща на височина 11м. Стълбата се завърта около долния си край на ъгъл 60° и се обляга на срещуположната къща. Намерете дължината на стълбата и височината, на която тя се е облегнала, ако ширината на улицата е 7√3 м.

[Реклама]

[r2d2]

Ще реша задачата в общия случай: вместо 11 - а, вместо 7√3 - b. Означавам дължината на стълбата с d.
Имаме [tex]\cos \mu=\frac{a}{d} \; \cos (30^\circ -\mu)=\frac{b}{d}[/tex]. Тогава [tex]\frac{\cos (30^\circ -\mu)}{\cos \mu}=\frac{b}{a}=\frac {\cos 30^\circ \cos \mu + sin 30^\circ \sin mu}{\cos \mu}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac {\tan \mu}{2}[/tex].

Или [tex] \tan \mu = \frac {2b - a\sqrt{3}}{a}[/tex].

Пресмятаме [tex]\tan^2 \mu +1=\frac{4(a^2-ab\sqrt{3}+b^2)}{a^2}=\frac{1}{\cos^2 \mu}[/tex].

Понеже [tex] d=\frac{a}{\cos \mu} \;=> \;d=2\sqrt{a^2-ab\sqrt{3}+b^2}[/tex].
За конкретната задача, [tex]d=2\sqrt{37}.[/tex]

[r2d2]

Всъщност задачата е: В правоъгълник със страни а и b да се впише равностранен триъгълник.
Два въпроса към форума:
1. Кога това е възможно!
2. Част от написаното подсказва елеганто решение (с линийка и пергел) на тази задача.

Има и решение с ротация, но не е това, което имам в предвид!

[r2d2]

Задачата има и по-просто решение (ама кой да се сети! )
Нека D1 е симетричната на D спрямо АВ. MD=MN=MD1 => М е центърът на описаната около DND1 окръжност => [tex]\angle DD1N=\frac {\angle DMN}{2}=30^ \circ.[/tex]
Ако [tex]NT \perp DD_1[/tex] пресмятаме [tex]D_1T=TN\sqrt{3}=b\sqrt{3}.[/tex]
Тогава [tex]DT=2a-b\sqrt{3}[/tex] и [tex]DN^2=DT^2 + DC^2=4a^2-4ab\sqrt{3}+4b^2[/tex]
Решението ми беше казано от доц. Христо Пачев.