Докажете

r2d2 · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 1:39 pm Заглавие: Докажете

Уравнението

[tex]f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+1=0[/tex], където всички коефициенти са положителни числа има n реални корена.

Докажете, че [tex]f(2) \ge 3^n[/tex].

Реклама

Baronov · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 1:52 pm Заглавие:

Може да се докаже по-общото [tex]f(x) \geq (x+1)^{n}[/tex], за достатъчно готини х (примерно положителни).
За целта е достатъчно да докажем, че [tex]a_{i}\geq C_{n}^{i}[/tex], което следва директно от представянето [tex]f(x) = (x+x_{1})(x+x_{2})....(x+x_{n})[/tex]. Където корените на полинома са [tex]-x_{1}, -x_{2},..-x_n{}[/tex]. Тук трябва да се отбележи, че полином с положителни коефициенти има само отрицателни корени. Сега остава да видим, че коефициентите на полинома се изразяват чрез (положителните) [tex]x_{1}, x_{2}....x_{n}[/tex] посредством елементарни симетрични полиноми и да приложим AM-GM за всеки такъв (елементарен и симетричен) полином.

r2d2 · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 3:03 pm Заглавие:

Baronov, ти кой клас си?!

Baronov · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 5:33 pm Заглавие:

r2d2 · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 7:01 pm Заглавие:

ins- · Пуснато на: Fri Oct 10, 2008 10:25 pm Заглавие:

r2d2 често се заяжда с хората ... не го разбирай никак.