Да се реши неравенството(3)

[estoyanovvd]

[tex]|x^{3}-x^{2}+4|+x^{3}-x^{2}-2x-2\le0 [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

Нека [tex]x^3-x^2-2 = a [/tex]
[tex]|a+6| + a -2x \le 0[/tex]
[tex]|a+6| \le 2x-a[/tex]
[tex] 2x-a \ge 0 <=> x \ge \frac{a}{2}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}a+6 \le 2x-a\\a+6 \ge a-2x\end{tabular}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}x-a-3 \ge 0\\x \ge -3\end{tabular}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}x \ge a+3\\x \ge -3\end{tabular}[/tex]
Връщаме се към полагането и получаваме:
[tex]x \ge x^3 -x^2 +1[/tex]
[tex] x^3-x^2-x+1 \le 0[/tex]
Намираме x=1 по Хорнер
[tex](x-1)^2(x+1) \le 0[/tex]
[tex] x \in (-\infty;-1] \cup [1][/tex]
Засичаме с другото неравенство от системата:
[tex]x \in [-3;-1] \cup [1][/tex]
и от ДС:
[tex] 2x \ge x^3 -x^2 -2[/tex]
[tex] x^3 -x^2 -2x -2 \le 0[/tex]
Сега ако си означим лявата страна на това с f(x) и намерим производната
[tex]f'(x) = 3x^2 -2x -2[/tex]
Виждаме, че интервала, в който ни попадат решенията е растящ и максимума на функцията се достига
При f(-1) = -1-1+2-2 = -2
f(1) = 1-1-2-2 = -4
Тоест в интервала, в който сме получили решения f(x) е по-малко от 0 , както си трябва. т.е от ДС няма проблеми. Отговор:
[tex] x\in [-3;-1] \cup [1][/tex]

[ганка симеонова]

Браво!
Добро решение

[estoyanovvd]

Решението не е лошо, но полагането е излишно!

Я да видим дали можете да го решите без производни!

[estoyanovvd]

[tex] x^3 -x^2 -2x -2 \le 0[/tex]
Сега ако си означим лявата страна на това с f(x) и намерим производната
[tex]f'(x) = 3x^2 -2x -2[/tex]
Виждаме, че интервала, в който ни попадат решенията е растящ и максимума на функцията се достига
При f(-1) = -1-1+2-2 = -2
f(1) = 1-1-2-2 = -4
Тоест в интервала, в който сме получили решения f(x) е по-малко от 0 , както си трябва. т.е от ДС няма проблеми.


Само това нещо не ми харесва много!!! Дали е вярно?!

[estoyanovvd]

Всичко е наред!

[NoThanks]

Не виждам защо да не е вярно. Просто вече сме си намерили решенията, и с производната проверяваме коя е най-голямата стойност на f(x), която може да се получи с вече намерените х. Максимумът на функцията така или иначе не ни влиза в интервала с решенията.

[estoyanovvd]

Опа, забравил съм знаменателя!!! Грешката е моя! Извинявай!!!

[gdimkov]

[estoyanovvd]

[NoThanks]

[estoyanovvd]

Максимумът в интервала на решенията е -2 !!! Локалният максимум на функцията се достига в [tex]\frac{1-\sqrt{7} }{ 3} [/tex] , но това не ни интересува, защото не е в интервала на решенията!!! Решението по-горе на noThanks е вярно!!! Може ли да решите задачата без да използвате производни, питам пак?

[ганка симеонова]

ЗА да има смисъл неравенството, трябва [tex]x^3-x^2-2x-2\le 0 [/tex]
Аз ще реша при това предположение н- то и ще проверя, дали за получените решения,
този израз е неположителен.Преобразувам го във вида:
[tex]|x^3-x^2+4|\le -[(x^3-x^2+4)-2(x+3)] [/tex], като полагам [tex]x^3-x^2+4=u[/tex]
=>[tex]|u|\le -(u-2(x+3)) [/tex]Повдигаме на втора степен=>[tex]u^2\le u^2 -4u(x+3)+4(x+3)^2 [/tex]
Връщаме се в полагането, разлагаме на множители и получаваме:
[tex](x+3)(x-1)^2(x+1)\le 0=>x\in [-3; -1]\cup 1 [/tex]
Лесно се установява, че при х=1 неравенсството се изпълнява като равенство. Сега да видим, дали за
[tex]x\in [-3; -1], x^3-x^2-2x-2\le 0 [/tex]. За целта представяме израза като:[tex](x+1)^3-(4x^2+5x+3) [/tex]
За всяко [tex]x\le -1=>(x+1)^3\le 0 [/tex]. Квадратния тричлен [tex]4x^2+5x+3>0[/tex], за всяко х=> за всяко [tex]x\le -1=>x^3-x^2-2x-2\le 0 [/tex]

[gdimkov]

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

Въпросът ми е към gdimkov, но и към останалите...
Хора, знаете ли, щo е математическо доказателство?

[gdimkov]

[gdimkov]

То да можеше някой да каже "Що е това доказателство". Доказват се: съществуване на обекти, несъществуване на обекти (т.е. празно множество), равенство между величини, неравенство между величини, качества на различни обекти и какво ли още не. Преди трийсетина години беше доказана една хипотеза със 70-годишна история. Доказателство беше допълнителен резултат от изследвания в съвсем друга област, обхващащи един доволно дебел труд. Днес същата хипотеза се доказва на две страници, но се носят от 99 кладенеца вода. Някой знае ли какъв е обемът на доказателството на теоремата на Ферма? То си е един дебел "роман".
Но нека чуем и други мнения.

[estoyanovvd]

Математическо доказателство е установяването на това дали е вярно или невярно
дадено математическо твърдение.

[Пафнутий]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Горещо препоръчвам на всички интересуващи се да прочетат тази книга и тази книга!!!

[estoyanovvd]

Доказателството на Ганка, естествено, е абсолютно вярно!!!

[ferry2]

[estoyanovvd]

[ferry2]

Сега вече стана .А програмката си я имам!

[Пафнутий]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]