тригонометрия и радиуси

[Anito]

Та зациклих на една задачка. Ако някои има идеи да пише, моля.
Определете ъглите на правоъгълен триъгълник, ако r:R=корен от 3 минус 1:2, където r е радиус на вписана окръжност,а R-на описана.

[Реклама]

[NoThanks]

Ползвай, че в правоъгълен
[tex]a+b = c+2r[/tex]
=> [tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
[tex]R = \frac{c}{2}[/tex]
[tex]a^2 + b^2 = c^2[/tex]
[tex]\frac{a+b-c}{c}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}[/tex]
[tex]2a+2b-2c=c\sqrt{3}-c[/tex]
[tex]2(a+b)=c(sqrt{3}+1)[/tex]
[tex]4(a^2+2ab+b^2)=c^2(4+2\sqrt{3})[/tex]
[tex]4(c^2+2ab) = 4c^2 +2c^2\sqrt{3}[/tex]
[tex]4c^2 +8ab = 4c^2 +2c^2\sqrt{3}[/tex]
[tex]ab = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex]a^2+b^2 = c^2[/tex]
[tex]ab = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex](a+b)^2 = c^2 - \frac{c^2\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex](a+b)^2 = c^2\frac{2-\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]a+b = c\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Опростяваме [tex]\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex] по формулите на Бхаскара
[tex]\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex] a + b = c(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{6}})= c(\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}) [/tex]
Но имаме и
[tex]ab = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
=>[tex]a = \frac{c^2\sqrt{3}}{4b}[/tex]
Заместваме в горното, привеждаме под общ знаменател и стигаме до биквадратно у-е:
[tex]12b^2 -2bc(3\sqrt{3}-\sqrt{6}) +3c^2\sqrt{3} = 0[/tex] , делим на c^2
[tex]12(\frac{b}{c})^2 - 2\frac{b}{c}(3\sqrt{3}-\sqrt{6}) + 3\sqrt{3} = 0[/tex]
Откъдето се предполага, че ще намериш b/c = sin(beta) i a/c = sin(alpha)
Обаче тук май съм поолял сметките някъде. Направи 1 проверка, иначе това би трябвало да е начинът.

[Anito]

А обяснение,което да разбере една десетокласничка?

[NoThanks]

Еми изразяваш радиуса на вписаната r, знаеш, че центъра на описаната е средата на хипотенузата, т.е c/2, и заместваш в отношението, което ти е дадено. От там намираш колко ти е a*b. После имаш от Питагор, че a^2 + b^2 = c^2 и от 2те можеш да намериш колко е (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 , a от там и a+b.
Като имаш а+b и ab стигаш до биквадратно уравнение, от което можеш да намериш b/c i a/c, а от там и ъглите на ▲

[NoThanks]

а бтв, тъп съм. Още на 5тия ред съм намерил:
[tex]2(a+b)=c(sqrt{3}+1) <=> a+b = \frac{c(\sqrt{3}+1)}{2}[/tex]
И сега като имаме:
[tex]ab = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
се получава далеч по-благото уравнение:
[tex]4(\frac{b}{c})^2 - 2(\frac{b}{c})(\sqrt{3}+1) + c^2\sqrt{3} = 0[/tex]
с решения [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}[/tex]
T.e ъглите на 3ъгълника са 30;60;90 или 60;30;90

[Anito]

Е сега вече зацепих, обаче закъсах на друго място, ако можеш помогни : Ако S е лице на правоъгълен триъг. и R радиус на описаната окр., да се изрази чрез S и Rрадиуса на вписаната r.

[NoThanks]

Нека пак страните са ти a, b и c.
Имаш:
[tex]S = pr[/tex]
[tex]a+b = c +2r = 2R+2r[/tex]
[tex] c = 2R[/tex]
=>[tex]S =pr = \frac{a+b+2R}{2}r = \frac{c+2r+2R}{2}r = \frac{4R +2r}{2}r = (2R+r)r[/tex]
[tex] S = 2Rr + r^2 <=> r^2 +2Rr -S=0[/tex]
[tex]r = -1 \pm \sqrt{R^2r^2 + S}[/tex]
и тъй като имаш r > 0 , тва с минуса отпада, а за другото имаш допустими стойности.

[gdimkov]

[tex]r=-R+\sqrt{R^2+S} [/tex]
От бързане ще объркаме момичето.
Тъй като [tex]S>0[/tex], то [tex]R^2<R^2+S[/tex].
Задачата е геометрична и би трябвало да има решение за всички стойности на зададените величини. Не може да се говори за допустими стойости на подкоренната величина.

[NoThanks]

[gdimkov]

Ето уравнението относно r, което получаваш: [tex]r^2+2R.r-S=0[/tex]. Това е квадратно уравнение, в което според обичайните означения [tex]a=1,\,b=2R,\,c=-S[/tex]. Забрави всякаква геометрия и реши това уравнение.

Що се отнася до геометричните съображения, имаме триъгълникк: лицето му е [tex]S[/tex]; около него винаги може да се опише окръжност и тя има има радиус [tex]R[/tex]. Във всеки триъгълник може да се впише окръжност и тя има някакъв радиус [tex]r[/tex]. Ако искаме да поставим някаво условие, то е [tex]R>\sqrt{\frac {S}{\pi }} [/tex]. Но ние тръгваме от триъгълника: той има определено лице [tex]S[/tex]; около него може да се опише окръжност и нейния радиус сме означили с [tex]R[/tex]. Мисля, че всичко е ясно.