Много трудно неравенство

[JusTok]

За реални числа [tex]x_1 \le x_2 \le x_3 \le ..x_n \le y_1 \le y_2 \le ...y_n[/tex] , докажете че:
[tex](\sum_{i=1}^n x_i+ \sum_{i=1}^ny_i)^2\ge4n(\sum_{i=1}^n x_iy_i)[/tex]

[Реклама]

[dim]

Разглеждам: [tex]f(t)=(t-x_1)(t-y_1)+(t-x_2)(t-y_2)+...+(t-x_n)(t-y_n)[/tex]

От условието [tex]x_1\le x_2\le ...\le x_n\le y_1\le y_2\le ...\le y_n[/tex], следва че:[tex]f(x_n)\le 0[/tex], [tex]f(y_1)\le 0[/tex] и [tex]f(x_1)\ge 0[/tex], [tex]f(y_n)\ge0 [/tex], което показва, че полиномът [tex]f(t)[/tex] има поне една реална нула. Значи съществува ткова число [tex]t_0[/tex], за което [tex]f(t_0)=0[/tex]

[tex]f(t_0)=(t_0-x_1)(t-y_1)+...+(t_0-x_2)(t_0-y_2)+...+(t_0-x_n)(t_0-y_n)=nt_0^2-(x_1+x_2+...+x_n+y_1+y_2+...+y_n)t_0+x_1y_1+...+x_2y_2+x_ny_n=0[/tex]

Последното е квадратно у-е относно [tex]t_0[/tex] и за да има поне един корен трябва [tex]D\ge 0[/tex]:

[tex](x_1+x_2+...+x_n+y_1+y_2+...+y_n)^{2}-4n(x_1y_1+...+x_2y_2+x_ny_n)\ge 0[/tex], от което следва и твърдението на задачата.

Надявам се да не съм объркал много грубо нещо...

[dim]

Тук ще илюстрирам важният според мен момент в доказателството.

Ако [tex]f_i(t)=(t-x_i)(t-y_i)[/tex], тогава [tex]f(t)=\sum_{i=1}^{n }f_i(t)[/tex]

[tex]f(t)=\sum_{i=1}^{n }f_i(x_1)\ge 0[/tex]

[tex]f(t)=\sum_{i=1}^{n }f_i(y_1)\le 0[/tex]

[Caesar]

Намек: Става с пермутационното неравенство !

[Пафнутий]

Би ли постнал решението ти с пермутационното неравенство (предполагам говориш за Rearrangement)

[Baronov]

[Caesar]

Не съм го решавал. Просто ми хрумна идеята, но нямам време да го напиша и да си го реша. Извинявам се ако съм Ви заблудил :}

[r2d2]

Предлагам вместо думите "подсказка" - руска и "хинт" - английска да исползваме българската дума "намек"!

[Caesar]

Съгласен