2 уравнения

[r2d2]

Решете:
[tex]sqrt{2}(\sin 7x+cos 7x)=\tan x +\cot x[/tex]
[tex]sqrt{2}(\sin 8x+cos 8x)=\tan x +\cot x[/tex]

Ако [tex]m[/tex] е цяло, кои са решенията на:
[tex]sqrt{2}(\sin mx+cos mx)=\tan x +\cot x[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

Тези малко ми приличат на тези: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6727 , но вече полагането май няма да проработи
[tex]tanx + cotx = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} <=> \frac{a}{b} + \frac{b}{a}[/tex], което знаем, че е => 2 за a,b > 0 [tex] \frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0[/tex]
Имаме: [tex] sin7x + cos7x = \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - 7x)[/tex]
=> [tex]2cos(\frac{\pi}{4} - 7x) = tanx + cotx[/tex]
Разглеждаме 2 случая:
1) а и в са с различни знаци, т.е в нашия случай - sinx и cosx. Toва е изпълено за [tex]x \in (-\pi +2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi) \cup (-\frac{3\pi}{2}+2k\pi; 0+2k\pi)[/tex]
Тогава, [tex]tanx + cotx \le -2[/tex], а знаем, че [tex]max(2cos(\frac{\pi}{4} - 7x)) = 2[/tex]
[tex]min(2cos(\frac{\pi}{4} - 7x)) = -2[/tex]
T.e виждаме, че единственият случай когато е възможно равенство е, когато и 2те страни са = -2. т.е
[tex]cos(\frac{\pi}{4} - 7x) = -1[/tex]
[tex]\frac{\pi}{4} - 7x = \pi + 2k\pi <=> x = \frac{-\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{7}[/tex]
Kaто това решение е включено в разглеждания интервал
2) а и б са с еднакви знаци, което е за [tex]x \in(0;\frac{\pi}{2}) \cup (-\pi;-\frac{3\pi}{2})[/tex]
=> равенството е възможно само, когато и 2те страни са = 2.
[tex]cos(\frac{\pi}{4} - 7x) = 1[/tex]
[tex]\frac{\pi}{4} - 7x = 2k\pi <=> x = \frac{2k\pi}{7}[/tex]
Което също е в разглеждания интервал.
2рото : абсолютно аналогично, само че вместо 7 пишем 8 в знаменателя.
За 3тото: абсолютно същото, само, че пише m в знаменателя.
А имаме и ДС: [tex]x\ne \frac{\pi}{2}(2k+1); x\ne 2k\pi[/tex]

[r2d2]

Oчевидно идеята на задачата е от тази дето си я дал в линка, ама решението ти...
Или аз нещо съм се объркал или ти.
И понеже аз рядко се обърквам (защото за разлика от повечето от вас, знам римската поговорка "Написаното остава!") ти предлагам да пооправиш (корегираш) решението си!