интересно уравнение

[Mastinka90]

sin²x + sin²5x+1=sinx + sin5x+sinx.sin5x

Досега онова,което опитах е да положа- sinx.sin5x=p
sinx+sin5x=t,
но нищо не ми се получава

[Реклама]

[ObsCure]

[tex]sin_^{2}+sin_^{2}5x=(sinx+sin5x)_^{2}-2sinxsin5x[/tex]

Оттук използвай полагането.

[ганка симеонова]

Давам решение, което ако не беше приятелското съдействие на Станислав Атанасов, нямаше да дам. Аз имах интуиция за неравенството, но той го доказа
Ще докажем, че ако [tex]a; b\in [-1; 1][/tex], то е в сила:
[tex] a^2+b^2-a-b-ab+1\ge 0 [/tex], като равенство се достига само при [tex]a=b=1 [/tex]
В нашия случай [tex]sinx=a; sin5x=b [/tex]
Разглеждаме квадратен тричлен относно а. Тогава имаме
[tex]a^2-(b+1)a+b^2-b+1\ge 0 [/tex]
[tex]D=-3(b-1)^2 [/tex]. При [tex] b\ne 1=>D<0 [/tex]=>неравенството винаги е изпълнено.
При [tex] D=0=>b=1=>a=1=>a^2+b^2-a-b-ab+1=0 [/tex]=>
Нашето равенство е в сила при [tex]sinx=sin5x=1 [/tex]
Нататък мисля, че е ясно..

[Mastinka90]

това го направих и не ми се получава по този начин..Развий,моля те,за да видя дали не съм изпуснала нещо

[ганка симеонова]

какво да развия?

[Mastinka90]

не,нищо-не бях видяла решението просто,но има само едно неясно нещо..Защо обръщаме уравнение в неравенство,за да намерим отговора??

[ObsCure]

[Mastinka90]

да, ObsCure,твоето решение,защото и аз тръгнах така,но не ми се получи нещо.Ясно,че при D[tex]\le [/tex]0 и а=1>0 уравнението е [tex]\ge [/tex]0 за всяко а,а оттам взимаме само =-то..На мен това -3 ми бъркаше много в здравето,но да..
Благодаря много!

[ганка симеонова]