симпатична система

[ганка симеонова]

Да се реши системата
[tex]x_1x_2x_3...x_n=1 [/tex]
[tex]x_1-x_2x_3...x_n=1 [/tex]
[tex]x_1x_2-x_3x_4...x_n=1 [/tex]
.........................................
[tex]x_1x_2...x_{n-1}-x_n=1 [/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Като за начало да извършим следната субституция: [tex]x_{1}x_{2}...x_{k}=t_{k}, k=1, 2, 3, ..., n[/tex]. От първото уравнение ще получим: [tex]x_{k+1}x_{k+2}x_{k+3}...x_{n}=\frac{1}{t_{k}}[/tex]. Съгласно условието на системата достигаме до:
[tex]t_{n}=1, t_{1}-\frac{1}{t_{1}}=1, t_{2}-\frac{1}{t_{2}}=1, t_{3}-\frac{1}{t_{3}}=1, ..., t_{n-1}-\frac{1}{t_{n-1}}=1[/tex], което от своя страна показва, че числата [tex]t_{1}, t_{2}, t_{3}, ..., t_{n}[/tex] се явяват решения на уравнение от вида [tex]y-\frac{1}{y}=1, y\neq0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y^2-y-1=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex].
Обаче [tex]x_{1}=t_{1}, x_{2}=\frac{t_{2}}{t_{1}}, x_{3}=\frac{t_{3}}{t_{2}}, ..., x_{n}=\frac{t_{n}}{t_{n-1}}[/tex] и
[tex]\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}, x_{n}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex].
Сега да си представим, че подреждаме корените [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}[/tex], като не взимаме предвид онези, чиито стойности са единици. Ако [tex]x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex], то следващият ще е [tex]\frac{\sqrt{5}-3}{2}[/tex]. Обратно, ако [tex]x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex], то следващият корен ще е [tex]-\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]. Трябва да се запази подредбата на числата от второто до предпоследното, тоест да се редуват едно след друго [tex]\frac{\sqrt{5}-3}{2}[/tex] и [tex]-\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex], като е ясно, че [tex]x_{n}[/tex] ще е пряко зависимо от [tex]x_{n-1}[/tex].

[NoThanks]

Нека [tex]x_{1}x_{2}x_{3}\dots x_{n} = S => S =1[/tex]
[tex]a - \frac{S}{a} = 1 <=> a^2 - a -1 =0 <=> a = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]b - \frac{S}{b} = 1 <=> b^2 - b -1 =0 <=> b = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
Но [tex] a = x_{1}; b = x_{1}x_{2}; a = b => x_{2}=1[/tex]
[tex] c - \frac{S}{c} = 1 <=> c^2 - c - 1 =0 <=> c = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex] c = a = b = x_{1}= x_{1}x_{2}= x_{1}x_{2}x_{3} => x_{3} = 1[/tex]
Сега за последното
[tex] \frac{S}{p} - p = 1; p^2 +p -1 =0 ; p = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
Откъдето излиза, че [tex]x_{n} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
Аналогични проверки като тези в началото ни показват, че всички останали членове са единици
=> [tex] x_1 = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}; x_{n} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}; x_{i} = 1 ; i \in[2;n-1][/tex]

[ins-]

Само за пълнота - задачата е давана на Московска математическа олимпиада и след това на НОМ - последен кръг някога преди отдавна.

[r2d2]

Всяка твоя библиографска справка е абсолютно ненужна и безсмислена. От тук нататък по 1 отрицателен вот.

Нямам нищо против да решиш задачата и да кажеш къде е давана, даже и да дадеш само линк към решението на задачата,ама бива бива..

[ins-]

Аз не се боря за точки и гласове ... влизам тук защото ми е приятно и да видя чат - пат нещо ...

It is easy to despise what you cannot get.

[r2d2]

[ins-]

"Лесно е да презираш това, което не можеш да имаш"

[r2d2]

Ясно.
Какво нямам и какво презирам, ако може ме светни!

[ins-]

"Умният разбира и от една дума" ... а r2d2 е професор, а на мен математиката ми е хоби =>, че той е умен. Затова не искам да изяснявам.

[r2d2]

Както се пееше в една песен (ама не съвсем) "Аз не съм про.. и никога няма да бъда". Така, че следвайки твоята логика (безумна) не е ясно, че съм умен.
Поради това,я разясни думите си.
"Лесно е да презираш това, което не можеш да имаш" или поне кажи ти какво имаш?

[ins-]

Поне не се заяждам с хората - това имам.

[r2d2]

Дотук разбрах:
Роботът презира, че "аз не се заяждам с хората".

А аз, само казах, че не е нормално да оповестяваш откъде е дадена задача, без да я решаваш!

[ins-]

Да беше робот - добре, но е човек ... Машините понякога дават дефекти, но за хората е недопустимо.

Чудя се друго ... вместо да си хабим времето да пишем щуротии не можехме ли да свършим нещо конструктивно?

[r2d2]

Ми да бе решил системата, дето е давана ТАМ, Онам и в Крит 1932 г.
Е, аз не мога и даже се съмнявам в условието!

[ins-]

След като е решена от 2-ма души и имам готово решение защо да се хабя? Просто го добавих за пълнота. Казано е изрично ... а и хората да могат да видят подобни задачи, ако тази им хареса ... защо някой трябва да се гъзира от това?!