тригонометрично уравнение

[ганка симеонова]

[tex]\sqrt{2}(sinx+cosx)=tgx+cotgx [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]\sqrt{2}(sinx+cosx) = \frac{sinx + cosx}{sinxcosx}[/tex]
[tex](sinx+cosx)\frac{\sqrt{2}sinxcosx - 1}{sinxcosx}= 0 [/tex]
[tex]\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - x) \frac{\sqrt{2}sinxcosx - 1}{sinxcosx}= 0 [/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{4} - x)\frac{2sinxcosx - \sqrt{2}}{sinxcosx}= 0 [/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{4} - x)\frac{sin2x - \sqrt{2}}{\frac{sin2x}{2}}= 0 [/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{4}-x)\frac{sin2x-\sqrt{2}}{sin2x} = 0[/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{4}-x) = 0 <=> \frac{\pi}{4}-x = \frac{\pi}{2}(2k+1) ; x=....[/tex]
[tex]sin2x-\sqrt{2} = 0 sin2x=\sqrt{2} => ne[/tex]
=> единствено реш:
[tex] x = -\frac{\pi}{4} + k\pi[/tex]
Kaто имаме и ДС
[tex] x \ne 2k\pi ; x\ne \frac{\pi}{2} + k\pi[/tex]

[ганка симеонова]

Още първият ред ти е грешен в дясната страна на уравнението.

[NoThanks]

Ох, да Сега ще го оправя
Едит: Но май не съвсем:
Дали добрата стара субституция ще даде правилния отговор този път
[tex]tgx = t , sinx=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} cosx = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/tex]
[tex]\frac{t+1}{\sqrt{1+t^2}}\sqrt{2} = \frac{1+t^2}{t}[/tex]
[tex](t^2+t)\sqrt{2} = (1+t^2)\sqrt{1+t^2}[/tex]
След повдигане на квадрат и опростяване:
[tex]t^6 + t^4 - 4t^3 + t^2 + 1 =0[/tex]
С Хорнер t=1 <=> x = pi/4 + kpi и ни остава
t(t^4 + t^3 + 2t^2 -2t -1) = 0
t=0 => x = 2kpi, което обаче не е в ДС, защото имаме ДС: sinx≠0
Сега ни остава t^4 + t^3 + 2t^2 -2t - 1 = 0 , което обаче не виждам как ще се разложи

[ганка симеонова]

Това въобще не е добра субституция. По- добре я забрави

[r2d2]

Сумата на две реципрочни числа е...

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Хитро
Аз все пак си държа на субституцията
sinx+cosx = t Както ганка_симеонова е отбелязала тук: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6720
[tex]t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}][/tex]
[tex]1+2sinxcosx = t^2[/tex]
[tex] sinxcosx = \frac{t^2-1}{2}[/tex]
=> [tex]t\sqrt{2} = \frac{1}{sinxcosx}[/tex]
[tex]t\sqrt{2} = \frac{2}{t^2-1}[/tex]
[tex]\sqrt{2}(t^3 - t -\sqrt{2}) = 0[/tex]
По Хорнер намираме [tex]t = \sqrt{2}[/tex]
[tex]\sqrt{2}(t-\sqrt{2})(t^2 +t\sqrt{2} +1) = 0[/tex]
Последното няма решения => [tex]t = \sqrt{2}[/tex]
[tex]sinx+cosx = \sqrt{2} <=> \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} -x) = \sqrt{2} <=> cos(\frac{\pi}{4} - x)= 1 [/tex] [tex]=> \frac{\pi}{4} - x = 2k\pi <=> x = \frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]

[martosss]

[NoThanks]

sinx + cosx = t
и повдигаш на квадрат

[martosss]

уф, верно Разбрах, това наистина добавя второ уравнение към системата