благодаря ви предварително

[trandalinka]

y=sin x + cos x min f (x)=? max f (x)=?
да се докаже: 1/2≤sin4x + cos4x≤1
1/4≤sin6x + cos6x≤1

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще започна с две забележки и после ще напиша решение.
1) Задачата не е за този раздел, а за раздел тригонометрия.
2)Имаш лошо написано условие. Вторите изрази трябва да изглеждат [tex]sin^4x+cos^4x; sin^x+cos^6x [/tex]
Така, както си ги написала излиза, че функциите са с арументи 4х и 6х.

[tex] sinx+cosx=\sqrt{2}sin(45^\circ +x) ;-1\le sin(45^\circ +x)\le 1=>-\sqrt{2}\le \sqrt{2}sin(45^\circ +x)\le \sqrt{2}=>-\sqrt{2} \le sinx+cosx\le \sqrt{2} [/tex]

[tex]-1\le sin2x\le 1=>-1\le 2sinxcosx\le 1=> -\frac{1}{ 2}\le sinxcosx\le \frac{1}{ 2} [/tex]

Въз основа на тези две двойни неравенства ще оценим функцията [tex]sin^4x+cos^4x [/tex]

[tex]y=sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1- 2(sinxcosx)^2 [/tex]

Тъй като видяхме, че [tex]-\frac{1}{ 2}\le sinxcosx\le \frac{1}{ 2} =>0\le (sinxcosx)^2\le \frac{1}{4 } [/tex]=>

[tex] y=1-2(sinxcosx)^2 \le 1-2.0=1 [/tex] и [tex]y=1-2(sinxcosx)^2\ge 1-2.\frac{1}{4 }=\frac{1}{2 } [/tex]

Второто неравенство със шестите степени се прави аналогично. Докарай израза до израз, в който участва само произведението на синуса и косинуса и го оцени.