 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
estoyanovvd
Фен на форума
Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
  
гласове: 67
|
 Пуснато на: Sun Sep 28, 2008 1:24 pm Заглавие: Да се реши неравенството |
|
|
| [tex]\sqrt{2x^{2}-4} +x\sqrt{x-1} \ge x^{2}[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
NoThanks
Гост
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 6:58 pm Заглавие: |
|
|
Ей реших го(след като 3 пъти писах някакви глупости на прима виста, но друго си е на листче  )
Първо определяме ДС:
[tex]2x^2 -4 \ge 0[/tex]
[tex]x-1 \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{2x^2-4} + x\sqrt{x-1} \ge 0 ( x^2 \ge 0)[/tex]
Като го решим получаваме: ДС [tex]x \in [\sqrt{2}; \infty)[/tex]
Тъй като в тези допустими стойности имаме [tex] x>0 ; x^2 >0[/tex], то спокойно си делим на [tex]x^2[/tex] и получаваме:
[tex]\sqrt{\frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^4}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \ge 1[/tex]
Означаваме си лявата част с f(x) и намираме f'(x)( след известни преобразувания)
[tex]f'(x) = -(x-2)\frac{(4x+\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{2x^2 -4}}{2x^3*\sqrt{ne6to}*\sqrt{ne6to}[/tex]
При ДС, които имаме цялата дясна част е положителна и знака на производната зависи само от (х-2)
Намираме x=2 локален максимум. Т.е f(max)=f(2) заместваме и виждаме, че f(2) = 1
T.e единственото решение е x =2 (при което се достига равенството) !
При всички останали стойности на х [tex]\sqrt{\frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^4}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} <1 [/tex]
Edit: Нещо не ми се получи кода. Тези които излизат като \sqrt{}... да не се взимат предвид! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 7:36 pm Заглавие: |
|
|
| NoThanks написа: | | Edit: Нещо не ми се получи кода. Тези които излизат като \sqrt{}... да не се взимат предвид! |
Когато се получават безсмислици се огледай да няма сблъсъци на емотикони, в случая в латекс е написано като [tex]8 )[/tex] и то го прави като емотикон, при което нещата се прецакват, това въжи и за другите емотикони... така че като има такива неща трябва да ги разделиш с някакъв знак, примерно празно място, то и без това не се възприема от Latex 
В случая вместо [tex][/tex] пишеш [tex]8 )[/tex] и всичко е наред(дай цитат и виж каква е разликата), при теб имаш точно 8 и ) след това, което предполагам е довело до проблема |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 7:46 pm Заглавие: |
|
|
| NoThanks написа: | Ей реших го(след като 3 пъти писах някакви глупости на прима виста, но друго си е на листче )
Първо определяме ДС:
[tex]2x^2 -4 \ge 0[/tex]
[tex]x-1 \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{2x^2-4} + x\sqrt{x-1} \ge 0 ( x^2 \ge 0)[/tex]
Като го решим получаваме: ДС [tex]x \in [\sqrt{2}; \infty)[/tex]
Тъй като в тези допустими стойности имаме [tex] x>0 ; x^2 >0[/tex], то спокойно си делим на [tex]x^2[/tex] и получаваме:
[tex]\sqrt{\frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^4}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \ge 1[/tex]
Означаваме си лявата част с f(x) и намираме f'(x)( след известни преобразувания)
[tex]f'(x) = -(x-2)\frac{(4x+\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{2x^2 -4}}{2x^3*\sqrt{ne6to}*\sqrt{ne6to}[/tex]
При ДС, които имаме цялата дясна част е положителна и знака на производната зависи само от (х-2)
Намираме x=2 локален максимум. Т.е f(max)=f(2) заместваме и виждаме, че f(2) = 1
T.e единственото решение е x =2 (при което се достига равенството) !
При всички останали стойности на х [tex]\sqrt{\frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^4}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} <1 [/tex]
Edit: Нещо не ми се получи кода. Тези които излизат като \sqrt{}... да не се взимат предвид! |
а без производна, може ли? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 8:38 pm Заглавие: Re: Да се реши неравенството |
|
|
| estoyanovvd написа: | | [tex]\sqrt{2x^{2}-4} +x\sqrt{x-1} \ge x^{2}[/tex] |
Ето го 
От допустимите стойности имаме [tex]x\ge \sqrt 2[/tex], тоест х е положително, нека повдигнем на квадрат, получаваме:
[tex]2x^2-4+x^3-x^2+2x\sqrt{(2x^2-4)(x-1)}\ge x^4[/tex]
[tex]2x\sqrt{(2x^2-4)(x-1)}\ge x^4-x^3-x^2+4[/tex]
Сега дясното се разлага до x²(x²-x-1)+4, което е винаги положително, тъй като първото събираемо е отрицателно само в интервала [tex]\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\: ;\: \frac{1+\sqrt 5}{2}\right)[/tex] и отделно имаме x>√2, от където интервалът става от √2 до [tex]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex], но като проверим двете крайни стойности виждаме, че това е положително, така че можем пак да повдигнем на квадрат, после рационализираме и получаваме неравенството:
[tex]x^8-2x^7-x^6-6x^5+17x^4+8x^3-24x^2+16\le 0[/tex]
сега разлагаме с хорнер на 2, което е двукратен корен до:
[tex](x-2)^2(x^6+2x^5+3x^4-2x^3-3x^2+4x+4)\le 0[/tex]
Сега това се разлага от своя страна до:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)(x^5+x^4+2x^3-4x^2+x+3)+1\right]\le 0[/tex]
Това също се "разлага"(не е напълно) до:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)\left[(x-1)(x^4+2x^2+4x^2+1)+4\right]+1\right]\le 0[/tex]
И последна стъпка:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)\left[(x-1)((x^2+x)^2+3x^2+1)+4\right]+1\right]\le 0[/tex]
Сега вече при условие, че [tex]x\ge \sqrt 2[/tex] лявата част е винаги положителна, освен ако х=2, което се оказва единствено решение
Готово  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 8:57 pm Заглавие: Re: Да се реши неравенството |
|
|
| martosss написа: | | estoyanovvd написа: | | [tex]\sqrt{2x^{2}-4} +x\sqrt{x-1} \ge x^{2}[/tex] |
Ето го
От допустимите стойности имаме [tex]x\ge \sqrt 2[/tex], тоест х е положително, нека повдигнем на квадрат, получаваме:
[tex]2x^2-4+x^3-x^2+2x\sqrt{(2x^2-4)(x-1)}\ge x^4[/tex]
[tex]2x\sqrt{(2x^2-4)(x-1)}\ge x^4-x^3-x^2+4[/tex]
Сега дясното се разлага до x²(x²-x-1)+4, което е винаги положително, тъй като първото събираемо е отрицателно само в интервала [tex]\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\: ;\: \frac{1+\sqrt 5}{2}\right)[/tex] и отделно имаме x>√2, от където интервалът става от √2 до [tex]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex], но като проверим двете крайни стойности виждаме, че това е положително, така че можем пак да повдигнем на квадрат, после рационализираме и получаваме неравенството:
[tex]x^8-2x^7-x^6-6x^5+17x^4+8x^3-24x^2+16\le 0[/tex]
сега разлагаме с хорнер на 2, което е двукратен корен до:
[tex](x-2)^2(x^6+2x^5+3x^4-2x^3-3x^2+4x+4)\le 0[/tex]
Сега това се разлага от своя страна до:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)(x^5+x^4+2x^3-4x^2+x+3)+1\right]\le 0[/tex]
Това също се "разлага"(не е напълно) до:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)\left[(x-1)(x^4+2x^2+4x^2+1)+4\right]+1\right]\le 0[/tex]
И последна стъпка:
[tex](x-2)^2\left[(x+1)\left[(x-1)((x^2+x)^2+3x^2+1)+4\right]+1\right]\le 0[/tex]
Сега вече при условие, че [tex]x\ge \sqrt 2[/tex] лявата част е винаги положителна, освен ако х=2, което се оказва единствено решение
Готово |
 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Mon Sep 29, 2008 9:48 pm Заглавие: Re: Да се реши неравенството |
|
|
| estoyanovvd написа: | | [tex]\sqrt{2x^{2}-4} +x\sqrt{x-1} \ge x^{2}[/tex] |
Сега го гледам и си мисля не може ли да се представи като
[tex]\sqrt 2 \sqrt{x^2-2}\ge x(x-\sqrt{x-1})[/tex]
И сега [tex]x\ge \sqrt 2[/tex], с което остава другото да се види кога е изпълнено, тоест кога [tex]\sqrt{x^2-2}\le x-\sqrt{x-1}[/tex]([tex]x-\sqrt{x-1}[/tex] е положителнo, спокойно) при което като се умножат двете и ще се получи горното.. ама нещо не получавам 2 никъде |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Tue Sep 30, 2008 4:31 pm Заглавие: |
|
|
Ето и едно решение от мен без Хорнер и производни.Умножаваме двете стани по 4 =>
[tex] 4\sqrt{2x^2-4} + 4x\sqrt{x-1} \ge 4x^2 [/tex]
Прехвърляме всичко от дясната страна и с малко прибавяне и изваждане получаваме:
[tex]2x^2-4-4\sqrt{2x^2-4}+4+x^2-4x\sqrt{x-1} +4x-4+x^2-4x+4\le 0 [/tex]
[tex](\sqrt{2x^2-4}-2)^2+(x-2\sqrt{x-1})^2+(x-2)^2\le 0 [/tex]
Това неравенсство може да се изпълни само като равенство и то, ако съществува число, за което едновременно и трите квадрата са 0. Установяваме, че при х=2 лявата страна е 0=>х=2 е единствено решение. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
