да се докаже

[ганка симеонова]

Да се докаже, че за всяко реално число х са в сима неравенствата:
[tex] \frac{ 7-\sqrt{52} }{3 } \le \frac{x+3}{x^2-x+1 } \le \frac{ 7+\sqrt{52} }{3 } [/tex]

[Реклама]

[martosss]

[naitsirk]

Нека [tex]m=\frac{x+3}{x^2-x+1 } [/tex] [tex]DM:[/tex] всяко [tex]x[/tex].
[tex]mx^2-mx+m-x-3=0[/tex]
[tex]mx^2-(m+1)x+m-3=0[/tex]
[tex]D=(m+1)^2-4m(m-3)=-3m^2+14m+1[/tex].
Тъй, като според дефиниционното множество, на всяка стойност на [tex]x[/tex], съответства поне една стойност на [tex]m[/tex], то уравнението [tex]mx^2-(m+1)+m-3=0[/tex], трябва да има корени за всяко [tex]x[/tex], т.е. [tex]D\ge 0[/tex]. С метод на интервалите определяма, че [tex]m\in [\frac{7-\sqrt{52} }{3 };\frac{7+\sqrt{52} }{3 } ][/tex]. С което задачата е доказана

[estoyanovvd]