Комплексни числа - откритие

[nasko]

Сега се подготвям за първия ми семестър в СУ, та взех да порешавам малко задачки с комплексни числа... Прочетох теорията, но никъде не можах да намеря откъде се е стигнало до заключението за съществуването на комплексните числа и навсякъде си пише, че взимаме i = [tex] \sqrt{-1} [/tex] като константа (наготово). Някой знае ли как се доказва съществуването им. Сега съм заек, така че не ми се смейте

[Реклама]

[savage309]

http://bg.wikipedia.org/wiki/Комплексно_число#.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F - Уики

[nasko]

Чел съм го в Wikipedia-та и именно заради това питам, защото не ми стана ясно там как се е "появило" множеството на комплексните числа. Там е описано по следния начин:
"Ползата от мнимите величини първи е оценил Бомбели (1572) - при решаването на кубични уравнения в т. нар. неприводим случай, когато реалните корени се изразяват чрез кубични корени от мними величини."

[gdimkov]

Тук разговорът става малко философски. Как, защо, откъде? Трудно е да се отговори. Това е развитие на идеите в течение на няколко века.
Не е необходимо да стигаме до кубичното уравнение. Да вземем квадратното. Ако детерминантата е положителна, всичко е наред. А акое отрицателна?
За определеност да вземем уравнението [tex]x^2+x+1=0[/tex]. Неговата дискриминанта е -3. Ние не знаем какво е това [tex]\sqrt{-3} [/tex]. Но ако действаме чисто формално [tex]\sqrt{-3}=\sqrt{(-1).3}+\sqrt{-1}.\sqrt{3} [/tex]. На това място можем да си зададем въпроса възможно ли е да разширим множеството на реалните числапо такъв начин, че [tex]\sqrt{-1} [/tex] да има смисъл. Под този израз трябва да разбираме такова разширение, при което въвеждаме основните аритметични операции по такъв начин, че сведени до частия случай на реални часла да се получават обичайните аритметични операции.
Това не е пример за основанията за въвеждане на комплексните числа. Но е пример, който би могъл да ни накара да се замислим за възможвостта да действаме в такова множество, в което всяко квадратно уравнение да има корени.
Що се отнася до споменатия случай с кубичното уравнение, става дума за следното. Формулите на Кардано имат този недостатък, че дори в случаите на уравнение с реални корени, те се получават (привидно) във вид на комплексно число. Ще рече човек "как хем е реално, хем е комплексно?". То е реално, но е записано във вид на комплексно число, което, след като бъде преработено, става реално. Това е смисълът на израза "Ползата от мнимите величини първи е оценил Бомбели (1572)".
Малко дълго стана писаното. Ще завърша с това: човек просто трябва да научи да работи с комплексни числа. А въпросите за тяхната поява, необходимост от съществуване и др. да остави на философите на математиката.

[dim]

[nasko]

Така... Първият ми урок по линейна алгебра мина и вече взехме комплексните числа официално Та значи целта на множеството на комплексните числа е била да бъде разширение на реалните числа, за да могат да бъдат намирани решенията и на задачите, които нямат решения в множеството на реалните числа... Но не мога да разбера концепцията за това, защо е нужно да се намира решение на задачи, които в действителност нямат решение Благодаря за мненията ви и особено това за приложението на комплексните числа в електротехниката, макар и все още да не съм чел как точно стават нещата.

[Relinquishmentor]

Комплексните числа са единственото възможно разширение на реалните числа и следователно представлява интерес да се изучи. Въпросът "защо" се изучава нещо, според моите преподаватели нямало смисъл за математиците, а само за физиците.

[martosss]

И какъв е смисълът от физична гледна точка? И на мен взе да ми става интересно. Нови измерения ли ще търсим?

[r2d2]

[nasko]

Да, това ми е известно: явно за всяко нещо си има причини и тук при въвеждането на комплексните числа - също. Ето сайт, където се описва приложението на комплексните числа в изчисленията при електротехниката: http://www.intmath.com/Complex-numbers/imaginary-numbers-intro.php

Така и така съм създал темата - да не правя нова - някой може ли да ми обясни как точно се намира ъгъла при превръщането на комплексните числа от алгебрична в тригонометрична форма - търси се [tex]tg\frac{y}{ x} [/tex] и после в зависимост в кой квадрант се намира точката, която отговаря на комплексното число се взима съответния знак - малко се обърквам в тази част???

Сега решавам задачи от сборници, но нещо се запънах на тази - изглежда ми лесна, но не мога да се сетя как точно се решава: [tex] \frac{1}{\sqrt{6} } - \frac{i}{\sqrt{2} } [/tex]
Аз го преработвам до: [tex] \frac{2}{\sqrt{6} }(\frac{1}{ 2} - \frac{\sqrt{3}.i }{2 } ) [/tex]
Отговорът е: [tex] \frac{\sqrt{2} }{ 4} [cos(-\frac{\pi }{3 }) + i.sin(-\frac{\pi }{ 9} )] [/tex]

Може ли с нещо да ми помогнете, за да продължа...

[gdimkov]

Мисля, че веднъж вече писах за двата начина за записване на комплексните числа, но мога да повторя.
[tex]z=x+i.y[/tex] - тук х се нарича реална част, а y - имагинерна част на z.
Така числото е записано в алгебричен вид. Записването му в тригонометричен вид има вида [tex]z=r(cos\alpha +i.sin\alpha )[/tex]. Положителното число [tex]z=r[/tex] се нарича модул, а числото [tex]\alpha [/tex] - аргумент и взима стойности от + до - безкрайност. Тези четири величини са свързани помежду си по следния начин:
[tex]x=r.cos\alpha ,\,y=r.sin\alpha [/tex]
[tex]|z|=r=\sqrt{x^2+y^2},\,\alpha =argz=arctg\frac {y}{x} [/tex].
С помощщта на тези формули можем да превръщаме всяко комплекснo число от единия му вид в другия.

Ще дам пример с разглежданата задача.
[tex]\frac {1}{\sqrt{6}}-\frac {i}{\sqrt{2}} [/tex].
Можем да я преработваме по различни начини, но нека я решим (като пример) с помощта на горните формули.
[tex]x=\frac {1}{\sqrt{6}},\,y=-\frac {1}{\sqrt{2}} [/tex]
[tex]x^2+y^2=\frac {1}{6}+\frac {1}{2}=\frac {2}{3},\,|z|=\sqrt{\frac {2}{3}}[/tex]

[tex]argz=arctg(-\frac {\sqrt{6}}{\sqrt{2}})=arctg(-\sqrt{3})=[/tex]
Имаме две възможности: [tex]arctg(-\sqrt{3})=\frac {5\pi }{6},\,-\frac {\pi }{6}[/tex]. Трябва да изберем втората, защото числото има отрицателна имагинерна част.

Сега вече можем да напишем [tex]z=\sqrt{\frac {2}{3}}\left(cos ({-\frac {\pi }{6}})+i.sin({-\frac {\pi }{6}})\right)[/tex]. Или още [tex]z=\sqrt{\frac {2}{3}}\left(cos ({\frac {\pi }{6}})-i.sin({\frac {\pi }{6}})\right)[/tex].
Забележка. В крайния резултат аргументът на двете тригонометрични функции трябва да е един и същ.

[nasko]

Благодаря за решението! Явно в сборника е имало печатна грешка(той е от 1977 г.), защото в отговора аргументът не е един и същ при функциите sin и cos.

[gdimkov]