Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 5:58 pm Заглавие: Пресметнете сумата: S(n)=? |
|
|
Пресметнете сумата:
[tex]S(n)=1+2(1+\frac{1}{n})+3(1+\frac{1}{n})^2+...+n(1+\frac{1}{n})^{n-1}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 11:14 pm Заглавие: |
|
|
[tex]1+\frac {1}{n}=x[/tex]
[tex]S_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}[/tex]
[tex]\int S_n(x)dx=x+x^2+x^3+\cdots +x^n=\frac {x-x^{n+1}}{1-x}[/tex]
[tex]S_n(x)=\left(\frac {x-x^{n+1}}{1-x}\right)'=\frac {1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}[/tex]
[tex]S(n)=\frac {1-(n+1)(1+\frac {1}{n})^n+n(1+\frac {1}{n})^{n+1}}{(\frac {1}{n})^2}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 1:00 pm Заглавие: |
|
|
Задачата може да се реши с нормални ученически знания (аз от интеграли не разбирам ), а и отговорът е малко по-прост. |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 4:23 pm Заглавие: |
|
|
Да представим сумата в триъгълен вид, като положим [tex]x=\frac{n+1}{ n} [/tex]
[tex]1[/tex]
[tex]x+x [/tex]
[tex]x^2+x^2+x^2 [/tex]
........................................
[tex]x^{n+1}+.....+x^{n+1} [/tex]
Тогава, ако сумираме по диагоналите, ще получим:
[tex]S=(1+x+x^2+...x^{n-1})+(x+x^2+...+x^{n-1})+(x^2+x^3+...x^{n-1})+...+x^{n-1}= [/tex]
=[tex]1.\frac{x^n-1}{x-1 }+x.\frac{x^{n-1}-1}{x-1 } +...+x^{n-1}.\frac{x^{n-(n-1)}-1}{x-1 }=\frac{(x^n-1)+(x^n-x)+...+(x^n-x^{n-1})}{x-1 }= [/tex]
[tex]=\frac{nx^n-(1+x+x^2+...x^{n-1})}{x-1 }=\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex]
Вршщайки се в полагането, за сумата получаваме:
[tex]S=\frac{(n+1)^n-n^n}{ n^{n-3}} [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 5:39 pm Заглавие: |
|
|
[tex]S(2)=1+2(1+1/2)=4[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 6:42 pm Заглавие: |
|
|
ганка симеонова написа: | [tex]\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex] |
Г-жо, ето тук ви е грешката Иначе подходът ви е наистина оригинален, браво |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 6:46 pm Заглавие: |
|
|
martosss написа: | ганка симеонова написа: | [tex]\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex] |
Г-жо, ето тук ви е грешката Иначе подходът ви е наистина оригинален, браво |
Поправи ме, Март..Разпиши я.. |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 7:12 pm Заглавие: |
|
|
получава се [tex]\frac{x^n(nx-n-1)+1}{(x-1)^2}[/tex] и ако се замести отговорът излиза S(n)=n² |
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 7:47 pm Заглавие: |
|
|
Ето и един вид решение с индукция(след подсказката на r2d2)
Наистина имаме:
[tex]S(2) = 4; S(3) = 1 +8/4 +16/3 = 9[/tex]
=> Нека предположим, че [tex]S(n) = n^2[/tex]
Вече имаме база за индукцията. Нека за n = k имаме
[tex]S(k) = 1 +2(1+1/k) + 3(1+1/k)^2 +... + k(1+1/k)^{k-1}=k^2[/tex]
Тогава за n=k+1 имаме:
[tex]S(k+1) = S(k) + a_{k+1} = k^2 + (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= (k+1)^2[/tex]
[tex]k^2 + (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= k^2 +2k +1[/tex]
[tex] (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= 2k+1[/tex]
Но от неравенството на Бернули имаме [tex](1+1/(k+1))^k \ge 1+ k/(k+1) = 2k+1/(k+1)[/tex]
Тогава имаме:
[tex](k+1)*(2k+1)/(k+1) = 2k+1[/tex] т.е [tex]S(k+1) \ge (k+1)^2[/tex] като очевидно по някаква причина в неравенството на Бернули е изпълнено само равенството , но не съм съвсем сигурен защо
Едит: решение ---> eдин вид решение |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 8:04 pm Заглавие: |
|
|
NoThanks написа: | Ето и един вид решение с индукция(след подсказката на r2d2)
|
Нищо не съм подсказвал, просто показах, че ф-лата на Ганка не дава верен резултат.
Според мен с индукция няма да стане (или поне аз не виждам как ще стане). |
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 8:26 pm Заглавие: |
|
|
r2d2 написа: | Задачата може да се реши с нормални ученически знания (аз от интеграли не разбирам ), а и отговорът е малко по-прост. |
Аз не твърдя, че съм дал единствено възможния начин за решаване. Едно от интересните неща в математиката е, че редица задачи, проблеми, теореми и пр. могат да бъдат решавани и/или доказвани с най-разнообразни средства.
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
P.S. Снощи, когато се забавлявах с тази задача, много ме болеше глава, а аз се опитвах да се правя, че не забелязвам. Накрая трябваше да се предам и не довърших сметките. А отговорът действително е не малко по-прост, а направо изключителна прост.
[tex]S(n)=n^2[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 10:44 pm Заглавие: |
|
|
[tex]1+\frac {1}{n}=x \;=> \;1-x=-\frac {1}{n}[/tex]
[tex]S(n)=1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}[/tex]
[tex]xS(n)=x+2x^2+\cdots +(n-1)x^{n-1}+nx^n[/tex]
[tex](1-x)S(n)=1+x+\cdots +x^{n-1}-nx^n=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n[/tex]
От [tex]1-x=-\frac {1}{n}\; =>-\frac{S(n)}{n}=-n+nx^n-nx^n=-n\;=>\;S(n)=n^2[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 10:48 pm Заглавие: |
|
|
Хех, и при Nona съм го виждал този подход, много оригинално, наистина. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|