Регистрирайте сеРегистрирайте се

Пресметнете сумата: S(n)=?


 
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Sep 26, 2008 5:58 pm    Заглавие: Пресметнете сумата: S(n)=?

Пресметнете сумата:

[tex]S(n)=1+2(1+\frac{1}{n})+3(1+\frac{1}{n})^2+...+n(1+\frac{1}{n})^{n-1}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Sep 26, 2008 11:14 pm    Заглавие:

[tex]1+\frac {1}{n}=x[/tex]

[tex]S_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}[/tex]

[tex]\int S_n(x)dx=x+x^2+x^3+\cdots +x^n=\frac {x-x^{n+1}}{1-x}[/tex]

[tex]S_n(x)=\left(\frac {x-x^{n+1}}{1-x}\right)'=\frac {1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}[/tex]

[tex]S(n)=\frac {1-(n+1)(1+\frac {1}{n})^n+n(1+\frac {1}{n})^{n+1}}{(\frac {1}{n})^2}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 1:00 pm    Заглавие:

Задачата може да се реши с нормални ученически знания (аз от интеграли не разбирам Mr. Green ), а и отговорът е малко по-прост.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 4:23 pm    Заглавие:

Да представим сумата в триъгълен вид, като положим [tex]x=\frac{n+1}{ n} [/tex]
[tex]1[/tex]
[tex]x+x [/tex]
[tex]x^2+x^2+x^2 [/tex]
........................................
[tex]x^{n+1}+.....+x^{n+1} [/tex]
Тогава, ако сумираме по диагоналите, ще получим:
[tex]S=(1+x+x^2+...x^{n-1})+(x+x^2+...+x^{n-1})+(x^2+x^3+...x^{n-1})+...+x^{n-1}= [/tex]

=[tex]1.\frac{x^n-1}{x-1 }+x.\frac{x^{n-1}-1}{x-1 } +...+x^{n-1}.\frac{x^{n-(n-1)}-1}{x-1 }=\frac{(x^n-1)+(x^n-x)+...+(x^n-x^{n-1})}{x-1 }= [/tex]

[tex]=\frac{nx^n-(1+x+x^2+...x^{n-1})}{x-1 }=\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex]
Вршщайки се в полагането, за сумата получаваме:
[tex]S=\frac{(n+1)^n-n^n}{ n^{n-3}} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 5:39 pm    Заглавие:

[tex]S(2)=1+2(1+1/2)=4[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 6:42 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:
[tex]\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex]

Г-жо, ето тук ви е грешката Wink Иначе подходът ви е наистина оригинален, браво Exclamation
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 6:46 pm    Заглавие:

martosss написа:
ганка симеонова написа:
[tex]\frac{1}{x-1 }(nx^n-\frac{x^n-1}{x-1 } ) =\frac{(x^n-1)(nx-1)}{(x-1)^2 } [/tex]

Г-жо, ето тук ви е грешката Wink Иначе подходът ви е наистина оригинален, браво Exclamation

Поправи ме, Март..Разпиши я..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 7:12 pm    Заглавие:

получава се [tex]\frac{x^n(nx-n-1)+1}{(x-1)^2}[/tex] и ако се замести отговорът излиза S(n)=n² Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 7:47 pm    Заглавие:

Ето и един вид решение с индукция(след подсказката на r2d2)
Наистина имаме:
[tex]S(2) = 4; S(3) = 1 +8/4 +16/3 = 9[/tex]
=> Нека предположим, че [tex]S(n) = n^2[/tex]
Вече имаме база за индукцията. Нека за n = k имаме
[tex]S(k) = 1 +2(1+1/k) + 3(1+1/k)^2 +... + k(1+1/k)^{k-1}=k^2[/tex]
Тогава за n=k+1 имаме:
[tex]S(k+1) = S(k) + a_{k+1} = k^2 + (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= (k+1)^2[/tex]
[tex]k^2 + (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= k^2 +2k +1[/tex]
[tex] (k+1)(1+1/(k+1))^k ?= 2k+1[/tex]
Но от неравенството на Бернули имаме [tex](1+1/(k+1))^k \ge 1+ k/(k+1) = 2k+1/(k+1)[/tex]
Тогава имаме:
[tex](k+1)*(2k+1)/(k+1) = 2k+1[/tex] т.е [tex]S(k+1) \ge (k+1)^2[/tex] като очевидно по някаква причина в неравенството на Бернули е изпълнено само равенството Laughing , но не съм съвсем сигурен защо Confused
Едит: решение ---> eдин вид решение Laughing
Върнете се в началото
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 8:04 pm    Заглавие:

NoThanks написа:
Ето и един вид решение с индукция(след подсказката на r2d2)


Нищо не съм подсказвал, просто показах, че ф-лата на Ганка не дава верен резултат.
Според мен с индукция няма да стане (или поне аз не виждам как ще стане).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 8:26 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Задачата може да се реши с нормални ученически знания (аз от интеграли не разбирам Mr. Green ), а и отговорът е малко по-прост.


Аз не твърдя, че съм дал единствено възможния начин за решаване. Едно от интересните неща в математиката е, че редица задачи, проблеми, теореми и пр. могат да бъдат решавани и/или доказвани с най-разнообразни средства.

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

P.S. Снощи, когато се забавлявах с тази задача, много ме болеше глава, а аз се опитвах да се правя, че не забелязвам. Накрая трябваше да се предам и не довърших сметките. А отговорът действително е не малко по-прост, а направо изключителна прост.
[tex]S(n)=n^2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 10:44 pm    Заглавие:

[tex]1+\frac {1}{n}=x \;=> \;1-x=-\frac {1}{n}[/tex]

[tex]S(n)=1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}[/tex]

[tex]xS(n)=x+2x^2+\cdots +(n-1)x^{n-1}+nx^n[/tex]

[tex](1-x)S(n)=1+x+\cdots +x^{n-1}-nx^n=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n[/tex]

От [tex]1-x=-\frac {1}{n}\; =>-\frac{S(n)}{n}=-n+nx^n-nx^n=-n\;=>\;S(n)=n^2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Sep 27, 2008 10:48 pm    Заглавие:

Хех, и при Nona съм го виждал този подход, много оригинално, наистина.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.