Диофантово у-ние

r2d2

Намерете целите решения (x,y) на
[tex]x^2(y-1)+y^2(x-1)=1[/tex]

Реклама

Saposto_MM · Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 7:07 pm Заглавие:

Нека x+y=p и xy=q. Имаме уравнението pq-p²+2q=1. Решаваме уравнението като квадратно относно p и получаваме D=q²+8q-4=(q+4)²-20. За да имаме цели решения трябва дискриминантата да е точен квадрат, откъдето получаваме уравнението (q+4)²-m²=20. От тук като използваме разлагането на 20 на прости множители получаваме системата
q+4+m=10
q+4-m=2,
откъдето q=2.
Сега решаваме системата
x²(y-1)+y²(x-1)=1
xy=2
и получаваме
(x,y)=(2,1),(1,2).

r2d2 · Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 7:34 pm Заглавие:

Това решение не е вярно! Wink

Saposto_MM · Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 8:14 pm Заглавие:

Добре, със същото решение и с наблюдението на Justok, че е възможна и системата
q+4+m=-10
q+4-m=-2
достигнах до решенията (x,y)=(-5,2),(2,-5). Все пак продължавам да вярвам, че има грешка при полагането x+y=p и xy=q.

r2d2 · Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 8:17 pm Заглавие:

Така става!
Може и така:
[tex]q(p+2)=p^2+1\;=>q=\frac{p^2-4+5}{p+2}\;=>\frac{5}{p+2}[/tex] e цяло!

Saposto_MM · Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 9:32 pm Заглавие:

Да така е по-кратко. Ключът е в полагането. Като каза "Това решение не е вярно!" започнах да търся коренно различно решение, а аз съм пропуснал нещо елементарно!

martosss · Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 7:31 pm Заглавие:

ins- · Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 9:14 pm Заглавие:

Полша 1996 година ... не е трудна задачата.

r2d2 · Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 9:41 pm Заглавие:

ins- Ще доживея ли, да видя една задача решена от теб?
Тези постове са безсмислени.

ins- · Пуснато на: Sat Sep 27, 2008 10:47 pm Заглавие:

Ще дам подсказка ...

1. Уравнението е еквивалентно на:
(x+y+2)(xy-x-y+2)=5

2. Изразите в скобите са цели числа и могат да са равни на -1,1,-5,5.

3. Съставят се съответните системи и от тях се намират всички възможни цели решения на уравнението.

Ако някои желае може да допише решението до край.

П.С. Смятам, че задачата е лесна и интуитивна, а не пиша цели решения, защото нямам много време. Някой беше казал, че: "Умният разбира и от една дума". Навремето бях решил цялата тема от II кръг на олимпиадата в Полша през 1996 и смятам, че другите задачи са по-интересни. Най-много ми харесаха планиметричната задача и неравенството. То може да бъде обобщено. Ограниченията за a,b,c не са нужни ... те може да са произволни реални числа. А защо това диофантово уравнение не е в раздел Теория на числата", а е в "Алгебра"?

Saposto_MM · Пуснато на: Wed Oct 01, 2008 6:57 pm Заглавие:

ins- · Пуснато на: Wed Oct 01, 2008 11:30 pm Заглавие:

Ето ги ... малко са на английски, ако някой не може да се оправи - да пита.