М-4

[ганка симеонова]

[tex](a+x)^8+(a^2+x^2)^4=a^4x^4 [/tex], [tex]a\ne 0 [/tex]

[Реклама]

[garion]

x=ak
(1+k)⁸+(1+k²)⁴=k⁴
ако |k|≥1, то 1+к²>к²≥1 => (1+k²)⁴>k⁴ => уравнението няма решение
ако |k| ≤ 1 => (1+k²)⁴≥1≥k⁴
от където следва че и този случай няма решение
значи уравнението няма решение

[martosss]

Може и така:

Полагаме a+x=p, ax=q и имаме

[tex]p^8+(p^2-2q)^4=q^4[/tex]

Сега имаме, че (a-b)²≥0 =>a²+b²≥2ab , прибавяме 2ab от двете страни и получаваме:
(a+b)²≥4ab => p²≥4q =>

=> p⁸≥256q⁴

Сега имаме (p²-2q)⁴≥0, събираме двете и получаваме

p⁸+(p²-2q)⁴≥256q⁴≥q⁴

Сега за да имаме равенство трябва p=q и p²-2q=0 откъдето получаваме a=0, което е невъзможно, с което задачата е решена

[ганка симеонова]

И двете решения са THE BEST