Една от входното

[NoThanks]

Ето една от последното в живота ми входно по мат
Да се реши неравенството:
[tex]tg(sin^2x) - ctg(cos^2x) < 0[/tex]
Едит: Тва малко прозвуча все едно ще се самоубивам.

[Реклама]

[ferry2]

[tex]tg(sin^2x) - ctg(cos^2x) < 0[/tex]

[tex]\frac{sinx}{cosx}(sin^2x)-\frac{cosx}{sinx}(cos^2x)<0[/tex]

[tex]DO:cosx\ne0;sin\ne0 [/tex]

[tex]\frac{sin^3x}{cosx}-\frac{cos^3x}{sinx}<0[/tex]

[tex]\frac{sin^4x-cos^4x}{cosxsinx}<0[/tex]

[tex]cosxsinx(sin^4x-cos^4x)<0[/tex]

[tex]cosxsinx(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)<0[/tex]

[tex]cosxsinx(2sin^2x-1)<0[/tex]

И понеже от [tex]DO:cosx\ne0;sin\ne0[/tex] остава единствено решение [tex]sinx=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex],но [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}=sin45^\circ [/tex],а [tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}=sin225^\circ [/tex] и тогава решение е:[tex]x\in (225^\circ +2k\pi;45^\circ +2k\pi)[/tex]

[NoThanks]

[tex]sin^2x[/tex] и [tex]cos^2x[/tex] са съответно аргументите на tg и ctg ! А и това ти решение е грешно. Това, че cosx≠0 и sinx≠0 , не означава, че не могат да са положителни и/или отрицателни

[ferry2]

[ганка симеонова]

Да определим ДС: [tex]cos(sin^2x)\ne 0=>sin^2x\ne \frac{\pi }{2 }+k\pi [/tex];[tex]sin(cos^2x)\ne 0=>cos^2x\ne k\pi [/tex]

Но [tex]sin^2x\in [0;1]\in [0; \frac{\pi }{2 }]; cos^2x\in [0;1] \in [0; \frac{\pi }{2 }] [/tex], a [tex]|\frac{\pi }{2 }+k\pi|>1[/tex] и [tex]|k\pi |>1 [/tex]=> Неравенството би имало смисъл за всяко х.

Ще ползваме следните преобразувания:
[tex]\frac{sin\alpha }{cos\alpha } -\frac{cos\beta }{ sin\beta }<0=>\frac{sin\alpha sin\beta -cos\alpha cos\beta }{cos\alpha sin\beta }<0=>\frac{cos(\alpha +\beta )}{ cos\alpha sin\beta } >0 [/tex]
В нашия случай ще имаме: [tex]\frac{cos(sin^2x+cos^2x)}{ cos(sin^2x)sin(cos^2x) } >0=>\frac{cos1}{cos(sin^2x)sin(cos^2x) }>0 [/tex]=>неравенството е изпълнено за всяко х.

[martosss]

като имаме cos(1-x) това е все едно п-х, нали? смисъл единицата е пи, а не пи върху 2 ?

[soldier_vl]

[tex]cos {\frac{\Pi }{ 2}} =0[/tex]
[tex]cos \pi =1 [/tex]
А π не е ли равно на 3.14

[Baronov]

[soldier_vl]

[Baronov]

[NoThanks]

[martosss]

идеята ми беше да представим примерно cos²x=2-sin²x, след което това 1 ако беше пи да направим там формули, ама явно не става

[gdimkov]

Да напишем лявата страна във вида
[tex]\frac {sin(sin^2x)}{cos(sin^2x)} - \frac {cos(cos^2x)}{sin(cos^2x)}[/tex]

[tex]0\le sin^2x\le 1,\,0\le cosx^2\le 1[/tex].

[tex]1<\pi /2[/tex] следователно [tex]cos(sin^2x)\ne 0[/tex]
Нека [tex]x_k=\frac {(2k+1)\pi }{2}[/tex]. Тогава [tex]sin(cos^2x_k)=0[/tex]. Оттук [tex]x\ne x_k[/tex].

Да положим [tex]cos^2x=t,\,0<t\le 1[/tex] и тогава [tex]sin^2x=1-t,\,0\le 1-t<1[/tex].
Сега лявата страна на неравенството става
[tex]\frac {sin(1-t)}{cos(1-t)}-\frac {cost}{sint}=-{\frac {cos1}{sint.cos(1-t)}}[/tex].

Трите величини, участващи в последния израз са положителни, откъдето за решението на неравенството получаваме [tex]x\ne x_k[/tex].

[ганка симеонова]