В уравнението x^2 - 2(m+1)x - m = 0,m e реален параметър

[Marina92]

1зад. (y+a)/(y-a) - (y^2+a)/(y^2+ay+a^2)=(4ay^2-2a^2(a+1))/y^3-a^3)

2зад. (2k+1)x^2 - (k+2)x + k-1= 0 .Да се намери к така,че да е изпълнено равенството : x1^3.x2 + x1.x2^3=(3k(1-k^2) - 6 ) / (2k+1)^3

3 зад В уравнението x^2 - 2(m+1)x - m = 0,m e реален параметър.Да се изрази като функция на m сумата от квадратите на корените на това уравнение.Ако f(m)=x1^2 + x2^2 е търсената функция,да се определи за кои стойности на m f(m) < 10

Помогнете

[Реклама]

[gdimkov]

Ще ти помогна за задача 2. Задача 3. ще си я направиш сама.
Първо ще искаме [tex]2k+1\ne 0[/tex]. За да имаме квадратно уравнение.
След това ще си припомним формулите на Виет и те ще ни дадат
[tex]x_1+x_2=\frac{k+2}{2k+1},\,x_1x_2=\frac {k-1}{2k+1}[/tex].

[tex]x_1^3x_2+x_1x_2^3=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=x_1x_2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2][/tex].
Надявам се, че оттук нататък ще можеш да продължиш сама.

[Spider Iovkov]

[tex](2k+1)x^2-(k+2)x+k-1=0.[/tex]

Като за начало да изясним двете Виетови формули:
[tex](1):[/tex] ако [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] са корени на квадратното уравнение [tex]ax^2+bx+c[/tex], то за тях е изпълнено: [tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}[/tex];
[tex](2):[/tex] ако [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] са корени на квадратното уравнение [tex]ax^2+bx+c[/tex], то за тях е изпълнено: [tex]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}[/tex].

Сега преобразуваш: [tex]x_{1}^3x_{2}+x_{1}x_{2}^3=\frac{3k(1-k^2)-6}{(2k+1)^3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x_{1}x_{2}(x_{1}^2+x_{2}^2)=\frac{3k(1-k^2)-6}{(2k+1)^3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x_{1}x_{2}[(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}]=\frac{3k(1-k^2)-6}{(2k+1)^3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{c}{a}[(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}]=\frac{3k(1-k^2)-6}{(2k+1)^3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{k-1}{2k+1}[(\frac{k+2}{2k+1})^2-\frac{2(k-1)}{2k+1}]=\frac{3k(1-k^2)-6}{(2k+1)^3} \Leftrightarrow ...[/tex], като [tex]DM_{k}: k\neq -\frac{1}{2}[/tex], за да има смисъл горният израз.

[Spider Iovkov]

[tex]x^2-2(m+1)x-m=0 \Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}.[/tex]

За кои стойности на [tex]m[/tex] е изпълнено неравенството: [tex]f(m)<10 [/tex]? Очевидно ще трябва да решим [tex](-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}<10 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow [2(m+1)]^2+2m<10 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2[2(m+1)^2+m]<2.5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2(m^2+2m+1)+m<5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2m^2+5m-3<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2(m-\frac{1}{2})(m+3)<0 \\ \Rightarrow m\in (-3; \frac{1}{2})[/tex].