Редица

[NoThanks]

Ето още една от добрите стари броеве на сп. Математика
Да се намери най-голямата стойност на c, за която редицата [tex]a_{1},a_{2},.....,a_{n},...[/tex] с общ член
[tex]a_{n} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n+c}[/tex]
е монотонно намаляваща.

[Реклама]

[Добромир Глухаров]

Само ще маркирам решението:

a_n+1 - a_n < 0

[tex]\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{n+1+c} - \frac{1}{n+c} < 0[/tex]

c² + (2n+1)c - n - 1 < 0

[tex]c \in (\frac{-2n-1-\sqrt{4n^{2}+8n+5}}{2} ; \frac{-2n-1+\sqrt{4n^{2}+8n+5}}{2})[/tex]

[tex]lim_{n->+\infty } c_{max} = lim_{n->+\infty } \frac{1}{2} . \frac{4n^{2}+8n+5-4n^{2}-4n-1}{2n+1+\sqrt{4n^{2}+8n+5}} = 1[/tex]

[Добромир Глухаров]

Хм... Нещо май бъркам. Щом редицата с общ член [tex]a_{n} = \frac{1}{n+1} + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} [/tex]е монотонно намаляваща, значи оценката за сумата на безкрайния ред:
[tex]\frac{1}{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} < \sum_{k=1}^{+\infty } \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}[/tex]
не върши работа.

Къде ли греша?