Полином от 3-та степен- помагайте

[To6o]

Здравейте. Отскоро реших, че ще кандидатствам с математика, защото ми е интересно да се занимавам с нея. Тръгнах на частни уроци, откъдетосъответно ми дадоха солидно количество задачки за домашна работа. С повечето се справям и успявам, но като се появи това уравнение, просто си нямам идея как ще го реша. Ако може някои да ми го обясни ще съм му благодарен. Доколкото разбрах от един сборник, може да стане със Хорнер, който за съжаление съм го изпуснал докато съм блял 9ти клас, а от сборника не мога да го разбера. Ще ви помоля да ми решите тази задача и още 1 пример, за да мога да го схвана. (Спокойно от схватливите съм ) Благодаря ви предварително. Ето го уравнението:

2х³ - 13х² + 13х +4=0

Това ми се получава за кубичното уравнение, а иначе даденото във задачата е със дробна черта, а съм нов и не знам как да я сложа тук

След като разбера ще сложа и цялата задача.

[Реклама]

[Добромир Глухаров]

Така, както си написал уравнението, то има три реални корена:

x₁ = -0,245266844
x₂ = 1,578125261
x₃ = 5,167143616

Не знам как могат да се получат по Хорнер, тъй като не са рационални числа.

Иначе за прилагане схемата на Хорнер трябва най-напред всички коефициенти в уравнението да са цели числа. Ако са рационални, умножаваш по общия им знаменател.

После си съставяш всички дроби с числител - делител на свободния коефициент (в случая =4, с делители -4, -2, -1, 1, 2 и 4) и знаменател - делител на коефициента пред най-високата степен на x (в случая =2, с делители -2, -1, 1 и 2)

За всяка от така получените дроби опитваш дали е решение на уравнението, като на практика я заместваш в него, само че за по-кратко пресмятане използваш, че:
ax³+bx²+cx+d=((a.x+b).x+c).x+d

Пишеш коефициентите един до друг в първия ред на таблица:

...2 -13 13 4
2 2 -9 -5 -6

На втория ред най-вляво (не под старшия коефициент) пишеш дробта (в случая = 2/1 = 2), която ще опитваш дали е корен. Преписваш старшия коефициент под него. Умножаваш по дробта (2), прибавяш следващия коефициент и записваш резултата под него. Умножаваш този резултат по дробта и т.н. Накрая под последния коефициент се получава стойността на лявата страна на уравнението за x=изпробваната дроб.

Ако тази стойност е нула, дробта е нула на полинома, съответно решение на уравнението.

[ганка симеонова]

напиши какво съдържа знаменателят. ако задачата е за съкращаване, значи знаменателят е един вид ключ, за решението.
най- добре напиши цялото условие на задачата.

[To6o]

[NoThanks]

Разложи [tex]x^2+x-2[/tex] на множители.

[Spider Iovkov]

[tex]\frac{3}{x^2+x-2}=\frac{1}{x^2(x-1)^2}+\frac{3}{x(x-3)}.[/tex]

[tex]ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a(x-x_{1})(x-x_{2})=0[/tex], където с [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] сме означили реалните корени на уравнението. Тази формула е позната като формула за разлагане на квадратния тричлен на линейни множители.

[tex]\Rightarrow x^2+x-2=(x-1)(x+2) \Rightarrow \frac{3}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{x^2(x-1)^2}+\frac{3}{x(x-3)} (*)[/tex], като [tex]DM_{x}: x\neq 1; -2; 0; 3[/tex].

[tex](*) \Leftrightarrow 3x^2(x-3)(x-1)=(x+2)(x-3)+3x(x-1)^2(x+2) \Leftrightarrow ...[/tex]. След опростяване достигаш до уравнението [tex]12x^3-35x^2+5x-6=0[/tex], с чието решаване всъщност решаваш и даденото дробно уравнение. Накрая само проверяваш кои от получените корени са от дефиниционната съвкупност на дробното уравнение, .

[To6o]

Благодаря на всички, които се наеха да ми обясняват Открих си грешката, задачата е решена, отговора излиза, че даже и я разбрах Но което е по-важно за мен разбрах и Хорнер Специални благодарности на Добромир Глухаров за това.

[Пафнутий]

[Pinetop Smith]

Toва навярно са някакви корени, изчислени с приближение

[gdimkov]

За да не повтарям някои неща ще използвам отчасти това, което е написал Емо. За пълнота на разсъжденията: привеждаме под общ знаменатeл, който е равен на
[tex]x^2(x-1)^2(x+2)(x-3)[/tex].
Получаваме две дроби с равни знаменатeли. За да бъдат равни, трябва да са равни техните числители. Оттук получаваме уравнението [tex](\ast)[/tex] на Емо (без да забравяме определената от него област на изменение на [tex]x[/tex]). Надявам се да не сбъркал и след необходимите пресмятания получавам уравнението
[tex]12x^3-17x^2+5x-6=0[/tex]. Тъй като това е уравнение от нечетна степен с реални коефициенти, то със сигурност има един реален корен. Остава да установим има ли други реални корени. Разглеждаме полинома [tex]y=12x^3-17x^2+5x-6[/tex].
[tex]y'=36x^2-34x+5[/tex]. Приравняваме на нула и получаваме за нулите на [tex]y'[/tex]: [tex]x_{1,\,2}=\frac {17\mp \sqrt{109}}{36}[/tex].
Без да изпадам в повече подробности, в точката [tex]x_1=\frac {17-\sqrt{109}}{36}[/tex] полиномът има локален максимум, а в [tex]x_2[/tex] - минимум. [tex]y(x_1)=-5.580764707[/tex]
Този резултат ни дава основание да смятаме, че [tex]y=12x^3-17x^2+5x-6[/tex] има само една реална нула и тя се намира вдясно (по-голяма е) от [tex]x_2=0.762230736[/tex].
Но [tex]y(\frac {3}{2}) <0[/tex], а [tex]y(2)>0[/tex]. Следователно урaвнението има единствен корен в интервала [tex](\frac {3}{2},\,2)[/tex].
Намирането на този корен може да стане приближено.

[martosss]

Всъщност с кардано става... извратено... ама става... трябват обаче много нерви и калкулатор наблизо И въпреки това се съмнявам, че ще изчисли някакъв "рационален" резултат, най-много някое 15-цифрено число.... за сега аз такива получавам и се отказвам

[Добромир Глухаров]

[Добромир Глухаров]

[gdimkov]

Дължа една малко уточнение.
"Следователно урaвнението има единствен корен в интервала (3/2, 2)". (Самоцитат.)
Правилното заключение е: уравнението има само един реален корен и той се намира в интервала (3/2, 2). Другите два корена на уравнението са две комплексно спрегнати числа.
По въпроса за рационалността на този единствен реален корен. Ако уравнението има за корен рационалното число [tex]\frac {p}{q}[/tex], то
[tex]p\in (-1,\,-2,\,-3,\,-6,\,1,\,2,\,3,\,6)[/tex]
[tex]q\in (-1,\,-2,\,-3,\,-4,\,-6,\,-12,\,1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12)[/tex].
Най-общо казано, така ще получим 96 дроби. Ясно е обаче, че голяма част от тях съвпадат. Излишно е да давам примери. Освен това коренът, който (евентуално) ще намерим е положителен, в интервала (3/2, 2). Не е трудно да видим, че с възможните числители и знаменатели не може да се сътави дроб в този интервал. Оттук можем да направим заключението, че единственият реален корен е ирационално число.
N.B. При съвременните възможности за приближено намиране на корени на уравнения, аз бих се въздържал от използване на формулата на Кардано. С нея без друго ще се получи ирационално число.

[Добромир Глухаров]

Много добро обяснение, gdimkov ! (По-добро е от моето...)

[gdimkov]