Едно неравенство

[Pinetop Smith]

Да се докаже, че за положителни числа a, b и с е изпълнено неравенството

[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc} + \frac{1}{b^3+c^3+abc} + \frac{1}{c^3+a^3+abc} \le \frac{1}{abc}[/tex]

[Реклама]

[dim]

...

[Пафнутий]

[dim]

Да-точно обратният знак съм поставил. Изглеждаше прекалено лесно за да е вярно

[JusTok]

[tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\le\frac{1}{a^{2}b+b^{2}a+abc}+\frac{1}{b^{2}c+c^{2}b+abc}+\frac{1}{c^{2}a+a^{2}c+abc}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}[/tex]

[Пафнутий]

Сега едно неравенство от мен:
Да се докаже за реални неотрицателни числа a,b,c , за които abc=1.
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{a+c+1}+\frac{1}{b+c+1}\le 1[/tex]
Кога се достига равенство

[dim]

[ins-]

Вярно е и следното неравенство:
Ако: a,b,c са реални положителни числа, за които: abc=1, то:
1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+c+a) <= 1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c);

[dim]

Трябва да е вярно и следното неравенство: [tex]\frac{1}{a^k+b+1}+\frac{1}{a+c^k+1}+\frac{1}{b^k+c+1}\le 1[/tex], [tex]abc=1[/tex], [tex]a>0[/tex], [tex]b>0[/tex], [tex]c>0[/tex], [tex]k\ge 0[/tex].

[estoyanovvd]

[Пафнутий]

[estoyanovvd]

Вече нямам съмнения! Вярно е!